Меню Главная Случайная статья Настройки Эпсилон-окрестность Материал из https://ru.wikipedia.org ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на ${\displaystyle \varepsilon }$. Определения Пусть ${\displaystyle (X,\varrho )}$ есть метрическое пространство, ${\displaystyle x_{0}\in X,}$ и ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью ${\displaystyle x_{0}}$ называется множество ${\displaystyle U_{\varepsilon }(x_{0})=\{x\in X\mid \varrho (x,x_{0})<\varepsilon \}.}$ Проколотой ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью точки ${\displaystyle x_{0}}$ называется её ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестность без неё самой: ${\displaystyle {\dot {U}}_{\varepsilon }(x_{0})=U_{\varepsilon }(x_{0})\backslash x_{0}}$ Пусть дано подмножество ${\displaystyle A\subset X.}$ Тогда ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью этого множества называется множество ${\displaystyle U_{\varepsilon }(A)=\bigcup \limits _{x\in A}U_{\varepsilon }(x).}$ Замечания ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью точки ${\displaystyle x_{0}}$ таким образом называется открытый шар с центром в ${\displaystyle x_{0}}$ и радиусом ${\displaystyle \varepsilon .}$ Прямо из определения следует, что ${\displaystyle U_{\varepsilon }(A)=\{x\in X\mid \exists y\in A\;\varrho (x,y)<\varepsilon \}.}$ ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестность является окрестностью и, в частности, открытым множеством. Примеры Пусть есть вещественная прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ со стандартной метрикой ${\displaystyle \varrho (x,y)=|x-y|,\;x,y\in \mathbb {R} .}$ Тогда ${\displaystyle U_{2}(1)=(-1,3);}$ ${\displaystyle U_{1}([5,7])=(4,8).}$