Начинал карьеру в команде высшего дивизиона Казахстана «Есиль-Богатырь», также один сезон провёл в первой лиге, выступая за петропавловский «Авангард». В 2009 году перешёл в «Актобе». В конце 2011 решил сменить клуб[3], к Евгению проявляет интерес алматинский «Кайрат» и павлодарский «Иртыш»[4]. В 2012 году подписал контракт с костанайским «Тоболом»[5]. В 2012 году перешёл в «Жетысу». В 2016-м вернулся в родной клуб, где и завершил карьеру игрока.
В сборной
В сборной Казахстана футболист провёл 9 матчей. Дебют Евгения Аверченко в сборной состоялся 6 июня 2009 года в игре против сборной Англии, в которой он отыграл 72 минуты и был заменён[6]. Уже через четыре дня он снова вышел на поле, правда на этот раз выйдя на замену за 16 минут до конца матча[6].
Тренерская
По завершении карьеры игрока занялся тренерской работой и стал ассистентом главного тренера в дублирующем составе родного клуба. По итогам сезона 2020 года второй лиги РК, завоевал с Кызылжар-СК-М золотые медали первенства.