Айдын — воспитанник клубов «Мергельштеттен», «Хайденхайм» и «Бавария». 17 июля 2021 года в матче против дублёров «Аугсбурга» он дебютировал за дублирующий состав[2]. В 2023 году Айдэн перешёл в «Галатасарай», подписав контракт на 3 года[3]. 7 января 2024 года в матче против «Коньяспора» он дебютировал в турецкой Суперлиге[4]. 6 февраля 2025 года в поединке Кубка Турции против «Болуспора» Эйюп забил свой первый гол за «Галатасарай»[5]. В том же сезоне игрок стал чемпионом и обладателем Кубка Турции.
Летом 2025 года Айдын перешёл в «Самсунспор» на правах аренды[6].
