В период Второй мировой войны его отец был активистом греческого сопротивления нацистской оккупации. Мать принадлежала к британскому аристократическому семейству Дальберг-Эктон. В 1977 году Алекс Каллиникос женился на Джоанне Сэддон, заканчивавшей докторантуру в Оксфорде.
Каллиникос был впервые вовлечен в революционное движение во время своей учёбы в оксфордском Баллиол-колледже. Тогда он начал писать для изданий британской организации «Международных социалистов» (предшественника СРП) в качестве аналитика студенческого движения. Вскоре в левом и академическом кругу он признается специалистом по Южной Африке и творчеству французского философаЛуи Альтюссера. Блестящий публицист и оратор, в начале 1980-х Каллиникос избирается в Центральный комитет Социалистической рабочей партии. Являлся ответственным за международную работу СРП.
Помогает Жаку Биде и Стасису Кувелакису в работе над Современным марксистским словарем (Dictionnaire Marx Contemporain), является автором ряда статей для «New Left Review».