Меню Главная Случайная статья Настройки Альтернатива Жиса — Маргулиса Материал из https://ru.wikipedia.org Альтернатива Жиса — Маргулиса — теорема о строении подгрупп группы гомеоморфизмов окружности, являющаяся аналогом альтернативы Титса. Содержание 1 Введение 2 Формулировка 3 Примеры 4 Следствия 5 Доказательство 6 Примечания 7 Литература 8 Ссылки Введение В 1987 году Этьен Жис[фр.] и Влад Сержиеску показали, что группа гомеоморфизмов окружности ${\displaystyle {\rm {Homeo}}(S^{1})}$ не удовлетворяет альтернативе Титса[1]. А именно, группа Томпсона ${\displaystyle F}$, которая вкладывается в группу ${\displaystyle {\rm {Homeo}}(S^{1})}$, не содержит ни разрешимых подгрупп конечного индекса, ни неабелевых свободных подгруппы. В своём докладе на симпозиуме по динамическим системам, проходившем в Париже в июне 1998 года, Этьен Жис высказал предположение о том, что, тем не менее, в этом случае верен определённый аналог альтернативы Титса, который ему удалось доказать в аналитическом случае. В общем случае его гипотеза была доказана в 2000 году Григорием Александровичем Маргулисом[2]. Формулировка Для любой подгруппы ${\displaystyle G\leqslant {\rm {Homeo}}(S^{1})}$ выполняется хотя бы одно из следующих условий: на окружности ${\displaystyle S^{1}}$ существует борелевская вероятностная мера, инвариантная относительно действия группы ${\displaystyle G}$; группа ${\displaystyle G}$ содержит свободную подгруппу ранга два. Во втором случае группа ${\displaystyle G}$ также содержит свободные подгруппы всех конечных и счётного рангов, поскольку свободная группа ранга два содержит их. Примеры Если все элементы группы ${\displaystyle G}$ являются изометриями (например, поворотами или отражениями), то мера Лебега на окружности ${\displaystyle S^{1}}$ инвариантна относительно действия группы ${\displaystyle G}$. Если действие группы ${\displaystyle G}$ на окружности ${\displaystyle S^{1}}$ имеет хотя бы одну конечную орбиту, то среднее дельта-мер Дирака[англ.], соответствующих точкам этой орбиты, является вероятностной мерой, инвариантной относительно ${\displaystyle G}$. Для группы Томпсона ${\displaystyle T}$ реализуется второе условие — она содержит неабелеву свободную подгруппу. Это связано с тем, что её действие на окружности минимально (см. далее). Следствия Примечательным следствием альтернативы Жиса — Маргулиса является следующая теорема о структуре минимальных действий групп на окружности. Для любой подгруппы ${\displaystyle G\leqslant {\rm {Homeo}}(S^{1})}$, действующей на окружности ${\displaystyle S^{1}}$ минимально, выполняется в точности одно из следующих условий: группа ${\displaystyle G}$ содержит абелеву подгруппу индекса не более два и действие ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle S^{1}}$ сопряжено действию изометриями, а точнее, существует такой сохраняющий ориентацию автогомеоморфизм ${\displaystyle \varphi \colon S^{1}\to S^{1}}$, что ${\displaystyle \varphi G\varphi ^{-1}\leqslant {\rm {Isom}}(S^{1})}$; группа ${\displaystyle G}$ содержит свободную подгруппу ранга два. В случае, если все гомеоморфизмы из ${\displaystyle G}$ сохраняют ориентацию, то есть ${\displaystyle G\leqslant {\rm {Homeo}}_{+}(S^{1})}$, в первом условии можно заменить ${\displaystyle {\rm {Isom}}(S^{1})}$ на группу вращений ${\displaystyle {\rm {Isom}}_{+}(S^{1})\cong {\rm {SO}}_{2}(\mathbb {R} )}$ и, тем самым, в этом случае группа ${\displaystyle G}$ сама абелева. Указанная теорема следующим образом выводится из альтернативы Жиса — Маргулиса[3]. В силу минимальности носитель вероятностной меры, инвариантной относительно данного действия группы, совпадает со всей окружностью. Любая борелевская вероятностная мера на окружности ${\displaystyle S^{1}}$, носитель которой совпадает со всей окружностью, может быть переведена некоторым сохраняющим ориентацию автогомеоморфизмом в меру Леберга[4]. Тем самым, действие, полученное сопряжением таким автогомеоморфизмом окружности, сохраняет меру Лебега, то есть является действием изометриями. Доказательство В своём доказательстве альтернативы Маргулис сначала устанавливает истинность указанного выше следствия, а затем выводит из него общий случай с помощью определённого рассуждения, принадлежащего Стивену Хёрдеру. Доказательство частного случая альтернативы, соответствующего следствию, состоит в следующем. Если действие группы ${\displaystyle G}$ на окружности ${\displaystyle S^{1}}$ равномерно непрерывно, то замыкание группы ${\displaystyle G}$ в пространстве ${\displaystyle {\rm {Homeo}}(S^{1})}$, рассматриваемом с компактно-открытой топологией, компактно. В этом случае искомая инвариантная мера на окружности может быть получена усреднением (вероятностной) меры Хаара на этом замыкании[4]. Если минимальное действие ${\displaystyle G}$ на окружности ${\displaystyle S^{1}}$ не является равномерно непрерывным, то оказывается, что оно является проксимальным, то есть для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in S^{1}}$ существует такая бесконечная последовательность ${\displaystyle \{g_{i}\}}$ элементов из ${\displaystyle G}$, что ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }g_{i}(x)=\lim _{i\to \infty }g_{i}(y)}$. Далее устанавливается, что к группе, действующей минимально и проксимально на окружности, применима лемма о пинг-понге[англ.], откуда следует, что она содержит свободную подгруппу ранга два. Примечания Ghys и Sergiescu, 1987. Margulis, 2000. Ghys, 2001, p. 360. 1 2 Ghys, 2001, p. 339. Литература Ghys, . Groups acting on the circle (англ.). — L'Enseignement mathmatique[фр.], 2001. — Vol. 47. — P. 329–407. Ссылки Ghys, , Sergiescu, V. Sur un groupe remarquable de diffomorphismes du cercle (фр.). — Commentarii Mathematici Helvetici[англ.], 1987. — Vol. 62. — P. 185–239. Margulis, G. Free subgroups of the homeomorphism group of the circle (англ.) // Comptes Rendus de l'Acadmie des Sciences - Series I - Mathematics[англ.]. — 2000. — Vol. 331, iss. 9. — P. 669–674. — doi:10.1016/S0764-4442(00)01694-3.