Андрияшевич — воспитанник клуба «Хайдук» из своего родного города. 13 мая 2010 года в матче против загребского «Кроации» он дебютировал во чемпионате Хорватии[3]. Летом 2011 года Франко для получения игровой практики на правах аренды перешёл в «Дугополе». Летом 2012 года Андрияшевич вернулся в «Хайдук». 29 июля в поединке против «Сплита» он забил свой первый гол за команду[4]. В 2013 году Франко помог клубу завоевать Кубок Хорватии.
Летом 2014 года Андрияшевич перешёл в загребское «Динамо». 18 июля в матче против «Славен Белупо» он дебютировал за новую команду[5]. В этом же поединке Франко забил свой первый гол за «Динамо».
В начале 2015 года Андрияшевич на правах аренды перешёл в клуб «Локомотива». 7 февраля в матче против своей предыдущей команды «Динамо» он дебютировал за «железнодорожников»[6]. 21 февраля в поединке против своего родного «Хайдука» Франко забил свой первый гол за «Локомотива»[7]. 2 апреля 2016 года в матче против «Истра 1961» он сделал хет-трик[8].
Летом 2016 года Андрияшевич вернулся из аренды и был продан в «Риеку». 21 августа в матче против бывшего клуба «Хайдука» он дебютировал за новый клуб[9]. В этом же поединке Франко забил свой первый гол за «Риеку». По итогам сезона он стал одним из лучших бомбардиров сезона с 16 голами. Летом 2017 года Андрияшевич перешёл в бельгийский «Гент». 30 июля в матче против «Сент-Трюйдена» он дебютировал в Жюпиле лиге[10]. В этом же поединке Франко забил свой первый гол за «Гент».
