Воспитанник московского «Спартака». С 2009 по 2011 год выступал за клубы юниорских лиг Северной Америки. В сезоне 2011/12 провёл 12 матчей за клуб Североамериканской хоккейной лиги «Остин Брюинз», после чего вернулся в Россию, став игроком клуба Молодёжной хоккейной лиги «Белые Тигры». В первом же матче в лиге (против «Толпара») отдал голевую передачу на Владимира Митрохина[1]. Первый гол в МХЛ забил 14 сентября 2012 года в ворота Игоря Устинского из «Стальных Лисов»[2]. Всего в 26 играх за оренбургскую команду форвард забросил 8 шайб и сделал 13 голевых передач.
19 ноября 2012 года Аркалов перешёл в новокузнецкий «Металлург» и 27 ноября уже играл в матче МХЛ за «Кузнецких Медведей» против «Белых Тигров»[3].
В составе «Металлурга» нападающий сыграл 6 матчей в Континентальной хоккейной лиге, первый из которых — 19 января 2013 года с «Витязем»[4].
Летом 2013 года Илья Аркалов перешёл в «Автомобилист». Дебютировал в новом клубе 6 октября в матче с «Донбассом»[5].
24 ноября 2013 года форвард забросил первую в карьере шайбу в КХЛ (в ворота «Слована»)[6].
Всего по итогам сезона на его счету был 31 матч (в том числе 1 — в плей-офф) и 2 заброшенных шайбы. Параллельно нападающий продолжал выступать и в МХЛ и 6 марта 2014 года набрал первое очко за результативность в кубке Харламова, отдав голевую передачу Анатолию Голышеву в матче против «Толпара»[7].
6 мая 2019 года Аркалов заключил контракт с московским «Спартаком», соглашение рассчитано до 30 апреля 2020 года[8]. 16 апреля 2020 года заключил новый двусторонний контракт со «Спартаком» ещё на один сезон — до 30 апреля 2021 года[9]. 30 апреля 2021 года в связи с истечением контракта покинул «Спартак»[10].