Меню Главная Случайная статья Настройки Атомарная функция Материал из https://ru.wikipedia.org Атомарная функция — финитное решение функционально-дифференциального уравнения вида ${\displaystyle L\,y(x)=\sum _{k=1}^{M}c_{k}y(ax-b_{k}),}$ где ${\displaystyle L}$ — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; коэффициенты ${\displaystyle a,b_{k},c_{k}\in \mathbb {R} }$, причём ${\displaystyle |a|>1}$[1][2]. Содержание 1 Атомарная функция up(x) 2 Атомарные функции ha(x), совершенные сплайны 3 Обобщённая теорема Котельникова 4 История и развитие 5 См. также 6 Примечания 7 Литература Атомарная функция up(x) Простейшая атомарная функция ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ (читается: «ап от ${\displaystyle x}$»[3])  является финитным бесконечно-дифференцируемым решением функционально-дифференциального уравнения ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,y'(x)=y(2x+1)-y(2x-1)}$ с носителем ${\displaystyle \operatorname {supp} \operatorname {up} (x)=(-1,1),}$ которое удовлетворяет условию нормировки ${\displaystyle \operatorname {up} (0)=1}$ (доказано, что при указанной нормировке это решение существует и единственно)[4]. Преобразование Фурье функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ имеет вид ${\displaystyle {\hat {\operatorname {up} }}(t)=\prod _{k=1}^{\infty }\operatorname {sinc} {\frac {t}{2^{k}}},}$ где ${\displaystyle \operatorname {sinc} =\sin {x}/x}$ — sinc-функция. Функция ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ — чётная, возрастает на интервале ${\displaystyle [-1,\;0]}$, убывает на интервале ${\displaystyle [0,\;1],}$ а её график ограничивает над осью абсцисс единичную площадь. Кроме того, ${\displaystyle \operatorname {up} (1-x)=1-\operatorname {up} (x)}$ при ${\displaystyle x\in [0,\;1]}$. Таким образом, целочисленные сдвиги ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ образуют разбиение единицы: ${\displaystyle \sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {up} (x-j)\equiv 1.}$ Значения ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ в двоично-рациональных точках вида ${\displaystyle 2^{-n}k}$ — рациональные числа. Функция ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ неаналитична ни в одной точке своего носителя. Для её вычисления нельзя использовать ряд Тейлора, однако существуют быстросходящиеся ряды специального вида, приспособленные для таких вычислений. Используются также разложения ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ в ряд Фурье, ряды по полиномам Лежандра, Бернштейна и др. Атомарные функции бесконечно дробимы, то есть представимы в виде линейной комбинации сдвигов-сжатий финитных функций с произвольной длиной носителя (дробных компонент), и могут рассматриваться как аналоги B-сплайнов бесконечной гладкости, а также идейные предшественники вейвлетов. Хорошие аппроксимативные свойства функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ основаны на том факте, что с помощью линейной комбинации сдвигов-сжатий ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ можно представить алгебраический многочлен любой степени. Атомарные функции ha(x), совершенные сплайны Атомарные функции ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ (при ${\displaystyle a>1}$) являются обобщением функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$. Соответствующие функционально-дифференциальные уравнения имеют вид ${\displaystyle {\frac {2}{a^{2}}}y'(x)=y(ax+1)-y(ax-1).}$ Таким образом, ${\displaystyle \operatorname {up} (x)\equiv \operatorname {h} _{2}(x).}$ Преобразование Фурье функции ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ имеет вид ${\displaystyle {\hat {\operatorname {h} _{a}}}(t)=\prod _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} {\frac {t}{a^{n}}},}$ следовательно, функции ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ есть бесконечнократные свёртки характеристических функций интервалов (прямоугольных функций), ширины которых убывают в геометрической прогрессии. Если в последнем выражении ограничиться конечным числом членов ${\displaystyle M}$ бесконечного произведения, получим преобразование Фурье совершенных сплайнов ${\displaystyle \operatorname {h} _{a,M}(x)}$ с рекуррентным функционально-дифференциальным выражением ${\displaystyle {\frac {2}{a^{2}}}\operatorname {h} '_{a,M}(x)=\operatorname {h} _{a,M-1}(ax+1)-\operatorname {h} _{a,M-1}(ax-1).}$ Обобщённая теорема Котельникова Нули преобразований Фурье функций ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ расположены регулярным образом в точках ${\displaystyle a\pi n}$ ${\displaystyle (n\neq 0)}$. В связи с этим любую непрерывную функцию ${\displaystyle f(x)}$ с финитным спектром ${\displaystyle (\operatorname {supp} {\hat {f}}=[-\Omega ,\Omega ])}$ можно разложить в ряд ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k\Delta ){\hat {\operatorname {h} _{a}}}\left[{\frac {a\pi }{\Delta }}(x-k\Delta )\right],}$ где ${\displaystyle a>2,\ 0<\Delta \leq \pi (a-2)/\Omega (a-1)}$[5]. Данная формула обобщает известную теорему Котельникова[5]; впервые она была предложена В. Ф. Кравченко и В. А. Рвачёвым[6], а в дальнейшем развита Е. Г. Зелкиным, В. Ф. Кравченко и М. А. Басарабом[7]. История и развитие Атомарные функции впервые были введены в работе[8] 1971 года. Обстоятельства появления функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ связаны с проблемой, поставленной в 1967 году В. Л. Рвачёвым и решённой В. А. Рвачёвым: найти такую финитную дифференцируемую функцию, что её график имел бы вид «горба» с одним участком возрастания и одним участком убывания, а график её производной состоял бы из «горба» и «ямы», причём последние были бы подобны «горбу» самой функции, т. e. представляли бы собой — с точностью до масштабного коэффициента — сдвинутую и сжатую копию графика исходной функции[9]. Итоги начального этапа развития теории атомарных функций представлены в работе В. А. Рвачёва «Атомарные функции и их применение»[10]. В ней дан подробный обзор работ по теории атомарных функций, доведённый до 1984 года, приведён список нерешённых задач теории атомарных функций, во многом определивший направления дальнейших исследований. В настоящее время атомарные функции находят широкое применение в теории аппроксимации, численном анализе, цифровой обработке сигналов, вейвлет-анализе и других областях. Большой цикл работ по теории и применениям атомарных функций в различных физических приложениях опубликован В. Ф. Кравченко и представителями его научной школы[11][12][13][14][15][16][17][18][19][20][21][22][23]. См. также Функция sinc(x) Окно (весовая функция) B-сплайн Теорема Котельникова Примечания Рвачёв и Рвачёв, 1979, с. 110. Кравченко, 2003, с. 17. Тихомиров, 1987, с. 202—203. Рвачёв В. Л. . Теория R-функций и некоторые её приложения. — Киев: Наукова думка, 1982. — С. 383. — 552 с. 1 2 Кравченко, 2003, с. 90—92. Кравченко В. Ф., Рвачёв В. А.  Применение атомарных функций в задачах интерполяции // Электромагнитные волны и электронные системы. — 1998. — Т. 3, № 3. — С. 16—26. Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Басараб М. А.  Интерполяция сигналов с финитным спектром с помощью преобразований Фурье атомарных функций и её применение в задачах синтеза антенн // Радиотехника и электроника. — 2002. — Т. 47, № 4. — С. 461—468. Рвачов В. Л., Рвачов В. О.  Про одну фінітну функцію // ДАН УРСР. Сер. А. — 1971. — № 8. — С. 705—707. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В.  Атомарные функции и WA-системы и функций в современных проблемах радиофизики и техники // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2011. — Т. 16, № 9. — С. 7—32. Архивировано 4 марта 2016 года. Волосюк В. К., Гуляев Ю. В., Кравченко В. Ф., Кутуза Б. Г., Павликов В. В., Пустовойт В. И.  Современные методы оптимальной обработки пространственно-временных сигналов в активных, пассивных и комбинированных активно-пассивных радиотехнических системах // Радиотехника и электроника. — 2014. — Т. 59, № 2. — С. 109—131. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В.  Применение семейств атомарных, WA-систем и R-функций в современных проблемах радиофизики. Часть I // Радиотехника и электроника. — 2014. — Т. 59, № 10. — С. 949—978. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В., Юрин А. В.  Применение семейств атомарных, WA-систем и R-функций в современных проблемах радиофизики. Часть II // Радиотехника и электроника. — 2015. — Т. 60, № 2. — С. 109—148. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В.  Применение семейств атомарных, WA-систем и R-функций в современных проблемах радиофизики. Часть III // Радиотехника и электроника. — 2015. — Т. 60, № 7. — С. 663—694. Кравченко В. Ф., Коновалов Я. Ю., Пустовойт В. И.  Семейства атомарных функций chan(x) и fupn(x) в цифровой обработке сигналов // ДАН РАН. — 2015. — Т. 462, № 1. — С. 35—40. Кравченко В. Ф., Чуриков Д. В. Цифровая обработка сигналов атомарными функциями и вейвлетами. — М.: Техносфера, 2019. Дополнительный тираж. 182 с. ISBN 978-5-94836-506-0. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В. Конструктивные методы алгебры логики, атомарных функций, вейвлетов, фракталов в задачах физики и техники. — М.: Техносфера, 2018. 696 с. ISBN 978-5-94836-518-3. Литература