Аугустинссон — воспитанник клуба «Броммапойкарна». 19 апреля 2015 года в матче против «АФК Эскильстуна» он дебютировал в Суперэттан[3]. В начале 2016 года Аугустинссон перешёл в «Юргорден». 9 апреля 2017 года в матче против «Хеккена» он дебютировал в Аллсвенскан лиге[4]. 15 июля 2018 года в поединке против «Кальмара» Юнатан забил свой первый гол за «Юргорден»[5]. В том же году он помог команде завоевать Кубок Швеции.