Балковец — воспитанник клуба «Бела Крайина». 13 марта 2011 года в матче против «Доба» он дебютировал во Втором дивизионе Словении[2]. Летом того же года Балковец перешёл в «Домжале». 20 августа в матче против «Горицы» он дебютировал в чемпионате Словении[3]. 17 мая 2012 года поединке против «Нафта 1903» Юре забил свой первый гол за «Домжале»[4]. В начале 2014 года для получения игровой практики Балковец был арендован клубом «Крка». 16 апреля в матче против «Триглава» он дебютировал за новую команду[5].
Летом 2014 года Балковец на правах аренды перешёл в «Радомлье». 20 июля в матче против «Копера» он дебютировал за новый клуб[6]. Летом 2015 года Юре вернулся в «Домжале» и в 2017 году помог клубу завоевать Кубок Словении.
В начале 2018 года Балковец перешёл в итальянский «Бари». 13 марта в матче против «Специи» он дебютировал в итальянской Серии B[7]. 27 апреля в поединке против «Виртус Энтелла» Юре забил свой первый гол за «Бари»[8]. Летом того же года Балковец подписал контракт с «Эллас Верона». 1 сентября в матче против «Козенци» он дебютировал за новую команду[9]. Летом 2019 года Балковец был арендован «Эмполи». 25 августа в матче против «Юве Стабия» он дебютировал за новую команду[10]. 7 декабря в поединке против «Асколи» Юре забил свой первый гол за Эмполи[11].
Со своей сборной вышел в плей-офф Евро-2024, где команда играла против сборной Португалии. Игра продлилась вплоть до серии послематчевых пенальти. К сожалению для игрока и сборной Юре Балковец не забил в серии, как и другие партнеры Йосип Иличич и Беньямин Вербич.
