Меню Главная Случайная статья Настройки Банаховы пределы Материал из https://ru.wikipedia.org Линейный функционал ${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } \in l_{\infty }^{*}}$ называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия: 1) ${\displaystyle B(\mathbf {1} )=1}$[Примечание 1] 2) ${\displaystyle B\geq 0}$ для любых ${\displaystyle x\geq 0}$ 3) ${\displaystyle B(Tx)=B(x)}$ для любого ${\displaystyle x\in l_{\infty }}$ , где ${\displaystyle T}$ — оператор сдвига, действующий следующим образом: ${\displaystyle T(x_{1},x_{2},x_{3},...)=(x_{2},x_{3},...)}$ Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом[1]. Из определения следует, что ${\displaystyle \|B\|_{l_{\infty }^{*}}=1}$ и ${\displaystyle B(x_{1},x_{2},...)=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$, если последовательность ${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$ сходится. Множество банаховых пределов обозначается как ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ — выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства ${\displaystyle l_{\infty }^{*}}$. Из неравенства треугольника следует, что для любых ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B}}}$ справедливо неравенство ${\displaystyle \|B_{1}-B_{2}\|\leq 2}$. Если ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle B_{2}}$ являются крайними точками множества ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, то ${\displaystyle \|B_{1}-B_{2}\|=2}$[2]. Содержание 1 Лемма 1 2 Теорема 1 3 Понятие почти сходимости 3.1 Пример 3.2 Лемма 2 4 Характеристические функции 4.1 Теорема 2 4.2 Свойства характеристических функций 5 Источники 6 Примечания 7 Литература Лемма 1 Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если ${\displaystyle B_{1}(x)\leq B_{2}(x)\quad \forall x\in l_{\infty }\quad x\geq 0}$, то ${\displaystyle B_{1}(x)=B_{2}(x)}$ [3]. Если ${\displaystyle B_{1}(u)\leq B_{2}(u)}$ для какого-то ${\displaystyle u\in l_{\infty }\quad u\geq 0\quad \Rightarrow \quad \forall \lambda >0\quad u\neq 0\quad B_{1}(\lambda u)<B_{2}(\lambda u)}$ . Возьмём ${\displaystyle 0<\lambda <{\frac {1}{\|u\|}}\quad \Rightarrow \quad 0\leq \lambda u\leq \mathbf {1} \quad \Rightarrow \quad \mathbf {1} -\lambda u\geq 0}$ , ${\displaystyle B_{1}(\mathbf {1} -\lambda u)=1-B_{1}(\lambda u)>1-B_{2}(\lambda u)=B_{2}(\mathbf {1} -\lambda u)}$ Получаем противоречие, которое доказывает лемму[3]. Теорема 1 Функционал ${\displaystyle f\in l_{\infty }^{*}}$ можно представить в виде ${\displaystyle f=B_{1}-B_{2}}$ (${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B}}}$) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f(Tx)=f(x)}$ для всех ${\displaystyle x\in l_{\infty }}$ ${\displaystyle f(\mathbf {1} )=1}$ ${\displaystyle \|f\|_{l_{\infty }^{*}}\leq 2}$ Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle \|f\|_{l_{\infty }^{*}}=2}$ [3].