Баркас — воспитанник столичного клуба «Атромитос». 20 мая 2015 года в матче против ПАОКа он дебютировал в греческой Суперлиге, заменив в конце второго тайма Андрея Горбунова[2]. Интерес к вратарю проявляли «Олимпиакос», ПАОК и английская «Астон Вилла»[3]. Летом 2016 года Василиос перешёл в АЕК[4]. 26 ноября в матче против «Платаньяса» он дебютировал за новый клуб[5]. В июле 2017 года на тренировке Василиос сломал большой палец правой руки и остался вне футбола на три месяца.
30 июля 2020 года было объявлено о трансфере Баркаса в «Селтик» из Глазго. Сумма трансфера составила 4,5 миллиона евро. Контракт рассчитан на 4 сезона[6].
Летом 2022 года перешёл на правах аренды в нидерландский «Утрехт»[7]. 28 июля 2023 года подписал с «Утрехтом» контракт на один сезон[8].