Берхон — воспитанник клубов «Ковадонга» и «Овьедо». Профессиональную карьеру он начал выступая за клубы «Беррон», «Леалтад», «Лангрео» и «Пахара Плайяс». Летом 2008 года Сауль перешёл в «Лас-Пальмас». 30 августа в матче против «Реал Сосьедад» он дебютировал в Сегунде[3]. 13 сентября в поединке против «Сарагосы» Берхон забил свой первый гол за «Лас-Пальмас»[4]. Летом 2010 года Сауль подписал контракт с дублирующей командой «Барселоны». Сумма трансфера составила 300 тыс. евро. 28 августа в матче против «Сельты» он дебютировал за дублёров[5].
Летом 2011 года Берхон был отдан в аренду в «Алькоркон». 17 сентября в матче против «Картахены» он дебютировал за новый клуб[6]. 19 ноября в поединке против «Кордовы» Сауль забил свой первый гол за «Алькоркон»[7].
В начале 2017 года Берхон на правах свободного агента подписал контракт с родным «Овьедо». 8 января в матче против дублёров «Севильи» он дебютировал за клуб[14]. 12 февраля в поединке против «Мирандеса» Сауль забил свой первый гол за «Овьедо»[15].