Меню Главная Случайная статья Настройки Циклическая группа Материал из https://ru.wikipedia.org Циклическая группа — группа ${\displaystyle (G,\cdot )}$, которая может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени ${\displaystyle g^{n}}$ будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+).}$ Содержание 1 Свойства 2 Примеры 3 Доказательства 4 Литература Свойства Все циклические группы абелевы. Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ = ${\displaystyle \{0,1,\dots ,n-1\}}$ со сложением по модулю n (её также обозначают ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$), а каждая бесконечная — изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, группе целых чисел по сложению. В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n. Каждая подгруппа циклической группы циклична. У циклической группы порядка n существует ровно ${\displaystyle \varphi (n)}$ (функция Эйлера) порождающих элементов. Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа). Прямое произведение двух циклических групп порядков ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$ циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты. Например, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{12}}$ изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{4}}$, но не изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{2}}$. Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{n}}}$, где p — простое число, или ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка). Кольцо эндоморфизмов группы ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ изоморфно кольцу ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$. При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$, который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, тогда и только тогда, когда r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{\times }}$. Примеры Группа корней из единицы степени n по умножению. Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F, группой Галуа которого будет G. Доказательства Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична. Доказательство. Пусть ${\displaystyle G}$ — циклическая группа и ${\displaystyle H}$ — подгруппа группы ${\displaystyle G}$. Если группа ${\displaystyle G}$ тривиальна (состоит из одного элемента), то ${\displaystyle H=G}$ и ${\displaystyle H}$ циклична. Если ${\displaystyle H}$ — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то ${\displaystyle H}$ циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ не являются тривиальными. Пусть ${\displaystyle g}$ — образующий элемент группы ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle n}$ — наименьшее положительное целое число, такое что ${\displaystyle g^{n}\in H}$. Утверждение: ${\displaystyle H=\langle g^{n}\rangle }$ ${\displaystyle \langle g^{n}\rangle \subseteq H}$ ${\displaystyle {\forall a\in \langle g^{n}\rangle }\ {\exists z\in \mathbb {Z} }\mid {a=(g^{n})^{z}}}$ ${\displaystyle g^{n}\in H\Rightarrow (g^{n})^{z}\in H\Rightarrow a\in H}$ Следовательно, ${\displaystyle \langle g^{n}\rangle \subseteq H}$. ${\displaystyle H\subseteq \langle g^{n}\rangle }$ Пусть ${\displaystyle h\in H}$. ${\displaystyle h\in H\Rightarrow h\in G\Rightarrow \exists x\in {\mathbb {Z} }\mid h=g^{x}}$. Согласно алгоритму деления с остатком ${\displaystyle \exists q,r\in {\mathbb {Z} }\mid 0\leq r\leq n-1\land x=qn+r}$ ${\displaystyle h=g^{x}=g^{qn+r}=g^{qn}g^{r}=(g^{n})^{q}g^{r}\Rightarrow g^{r}=h(g^{n})^{-q}}$. ${\displaystyle h,g^{n}\in H\Rightarrow g^{r}\in H}$. Исходя из того, каким образом мы выбрали ${\displaystyle n}$ и того, что ${\displaystyle 0\leq r\leq n-1}$, делаем вывод, что ${\displaystyle r=0}$. ${\displaystyle r=0\Rightarrow h=(g^{n})^{q}g^{0}=(g^{n})^{q}\in \langle g^{n}\rangle }$. Следовательно, ${\displaystyle H\subseteq \langle g^{n}\rangle }$. Литература Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001. Хамермеш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.