Меню Главная Случайная статья Настройки Бесконечномерное пространство Материал из https://ru.wikipedia.org Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью. Изучение бесконечномерных пространств и их отображений является главной задачей функционального анализа. Наиболее простыми бесконечномерными пространствами являются гильбертовы пространства, наиболее близкие по свойствам к конечномерным евклидовым пространствам[1]. Содержание 1 Определение 2 Базис 3 Примеры 4 Свойства 5 См. также 6 Примечания 7 Литература Определение Линейное векторное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа ${\displaystyle N>0}$ в нем найдется линейно независимая система, состоящая из ${\displaystyle N}$ векторов[2][3]. Базис Для бесконечномерного пространства существуют различные определения базиса. Так, например, базис Гамеля определяется, как множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации единственным образом. Для топологических векторных пространств можно определить базис Шаудера. Система элементов ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$ образует базис Шаудера пространства ${\displaystyle E}$, если каждый элемент ${\displaystyle x\in E}$ представим единственным образом в виде сходящегося ряда ${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k}}$[4]. Базис Шаудера существует не всегда. Примеры Линейное пространство непрерывных на данном промежутке функций[2]. Гильбертово пространство, образованное бесконечной последовательностью чисел ${\displaystyle x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)}$ со сходящейся суммой квадратов ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty }$[5]. Множество всех многочленов (над дан­ным по­лем)[6]. Пространство квадратично-суммируемых последовательностей Свойства Бесконечномерное пространство не изоморфно никакому конечномерному[7]. См. также Конечномерное пространство Примечания Функциональный анализ // Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 613-615 1 2 Ефимов, 2004, с. 33. Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 17 Крейн, 1964, с. 74. Шилов, 1961, с. 182. Ефимов, 2004, с. 32. Ефимов, 2004, с. 39. Литература Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: Физматлит, 2004. — 464 с. — ISBN 5-9221-0386-5.