Свою футбольную карьеру Артур Биезайс начал в клубе «Рига», в составе которого он и дебютировал в Высшей лиге Латвии. После банкротства клуба в 2008 году, он побывал на просмотре в клубе «МЕТТА/Латвийский университет»[2], но позже всё-таки присоединился к «Юрмале-VV»[3].
В январе 2010 года Артур Биезайс побывал на просмотре в литовском клубе «Банга»[4], но закрепиться там ему не удалось.
После окончания сезона 2011 года, Артур Биезайс побывал на просмотре в Болгарии, а в феврале 2012 года присоединился к рижскому клубу «МЕТТА/Латвийский университет», где также будет выполнять роль тренера вратарей[6][7].