Бойомо — воспитанник клубов «Тулуза» и английского «Блэкберн Роверс». В 2020 году игрок подписал контракт с испанским «Альбасете». 26 сентября в матче против «Фуэнлабрада» он дебютировал в Сегунде[1]. 25 октября в поединке против «Райо Вальекано» Флавьен забил свой первый гол за «Альбасете»[2]. Летом 2023 года Бойомо перешёл в «Вальядолид», подписав контракт на четыре года. Сумма трансфера составила 1,2 млн. евро. 11 августа в матче против хихонского «Спортинга» он дебютировал за новую команду[3]. 3 марта 2024 года в поединке против «Андорры» Флавьен забил свой первый гол за «Вальядолид»[4]. По итогам сезона игрок помог клубу выйти в элиту. В матче против Эспаньола он дебютировал в Ла Лиге.
Летом 2024 года Бойомо перешёл в «Осасуну», подписав контракт на 5 лет. Сумма трансфера составила 5 млн. евро[5]. 1 сентября в матче против «Сельты» он дебютировал за новую команду[6]. В этом же поединке Флавьен забил свой первый гол за «Осасуну».