Меню Главная Случайная статья Настройки Валюация Материал из https://ru.wikipedia.org Валюация — обобщение понятия меры, обычно определяемое на выпуклых множествах евклидова пространства. Содержание 1 Определение 1.1 Замечания 2 Примеры 3 Свойства 4 Литература 5 Примечания Определение Пусть ${\displaystyle K^{n}}$ — класс всех не пустых компактных выпуклых множеств в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Валюация на ${\displaystyle K^{n}}$ есть функция ${\displaystyle v:K^{n}\to \mathbb {R} }$ такая, что равенство ${\displaystyle v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)}$ выполняется для любых ${\displaystyle S,T\in K^{n}}$ таких, что ${\displaystyle S\cup T\in K^{n}}$, Замечания Валюация называется непрерывной, если она непрерывна относительно метрики Хаусдорфа. Валюация называется инвариантной относительно движений, если для любого движения и любого ${\displaystyle S\in K^{n}}$ выполняется ${\displaystyle v(S)=v(\phi (S))}$ Примеры Средняя поперечная мера ${\displaystyle k}$-ая средняя поредняя поперечная мера ${\displaystyle W_{k}(S)}$ тела ${\displaystyle S\in K^{n}}$ определяется как средняя ${\displaystyle k}$-мерная площадь проекций ${\displaystyle S}$ на ${\displaystyle k}$-мерные плоскости. В частности, ${\displaystyle W_{n}(S)}$ — объём ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle W_{n-1}(S)}$ — пропорциональна площади поверхности ${\displaystyle S}$. ${\displaystyle W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)}$ Валюация Дирака Валюация Дирака ${\displaystyle \delta _{x}}$ точки ${\displaystyle x}$ определяется как ${\displaystyle \delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\text{если}}~x\notin U\\1&{\text{если}}~x\in U\end{cases}}}$ Свойства Теорема Хадвигера: любая непрерывная валюация, инвариантная относительно движений, может быть представлена в виде линейной комбинации поперечных мер. Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )}$, выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрхарта.[1] Литература Семён Алескер Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа «Алгебра и геометрия» 25—31 июля, 2014 Ярославль Примечания Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Math. 358, 202-208.