Веласко — воспитанник клуба «Депортиво Кито». 26 ноября 2010 года в матче против «Депортиво Куэнка» он дебютировал в эквадорской Примере[2]. 29 января 2011 года в поединке против «Манты» Педро забил свой первый гол за «Депортиво Кито»[3]. В том же году он стал чемпионом Эквадора.
В начале 2013 года Веласко перешёл в «Барселону» из Гуаякиль. 11 марта в матче против «Макары» он дебютировал новую команду[4]. 23 июня в поединке против «ЛДУ Лоха» Педро забил свой первый гол за «Барсу»[5]. В 2016 году он помог клубу выиграть чемпионат.