Меню Главная Случайная статья Настройки Вещественнозначная функция Материал из https://ru.wikipedia.org Вещественнозначная функция — функция, значениями которой являются вещественные числа. Другими словами, это функция, которая назначает вещественное число каждому элементу области определения функции. Вещественнозначные функции вещественной переменной[англ.] (обычно называемые вещественными функциями) и вещественнозначные функции нескольких вещественных переменных[англ.] являются основным объектом изучения в математическом анализе и, более конкретно, в теории функций вещественной переменной. В частности, многие функциональные пространства[англ.] состоят из вещественнозначных функций. Содержание 1 Алгебраическая структура 2 Измеримость 3 Непрерывность 4 Гладкость 5 В теории меры 6 Другие приложения 7 См. также 8 Примечания 9 Литература 10 Ссылки Алгебраическая структура Пусть ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$ обозначает множество всех функций, отображающих множество X в вещественные числа ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Поскольку ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является полем, ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$ может быть превращено в векторное пространство с коммутативной алгеброй со следующими операциями: ${\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}$ — сложение векторов ${\displaystyle \mathbf {0} :x\mapsto 0}$ — нулевой элемент ${\displaystyle cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R} }$ – скаляр ${\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}$ — поточечное умножение. Эти операции распространяются на частично определённые функции[англ.] из Также, поскольку ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является упорядоченным множеством, имеется частичное упорядочение: ${\displaystyle \ f\leqslant g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leqslant g(x)}$ в ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$, что делает ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$ частично упорядоченным кольцом. Измеримость ${\displaystyle \sigma }$-алгебра борелевских множеств является важной структурой на вещественных числах. Если Более того, множество (семейство) вещественнозначных функций на Непрерывность Вещественные числа образуют топологическое пространство и полное метрическое пространство. Непрерывные вещественнозначные функции (с предположением, что Концепция метрического пространства сама по себе определяется с вещественнозначной функцией от двух переменных, непрерывной метрики. Пространство непрерывных функций на компактном хаусдорховом пространстве[англ.] имеет особое значение. Пределы последовательностей можно также рассматривать как вещественнозначные непрерывные функции на специальном топологическом пространстве. Непрерывные функции образуют также векторное пространство с алгеброй, представленной выше, и являются подклассом измеримых функций, поскольку любое топологическое пространство имеет ${\displaystyle \sigma }$-алгебру, образованную открытыми (или замкнутыми) множествами. Гладкость Вещественные числа используются в качестве кодомена для определения гладких функций. Область определения вещественной гладкой функции может быть: вещественным координатным пространством (что даёт функции нескольких вещественных переменных[англ.]), топологическим векторным пространством,[1] его открытым подмножеством, или гладким многообразием. Пространства гладких функций являются также векторными пространствами с алгебрами, описанными выше, и являются подклассами непрерывных функций. В теории меры Мера множества — это неотрицательный вещественнозначный функционал на ${\displaystyle \sigma }$-алгебре подмножеств[2]. ${\displaystyle \mathrm {L} ^{p}}$ пространства на множествах с мерой определяются из упомянутых выше вещественнозначных измеримых функций, хотя они, на самом деле, являются факторпространствами. Более точно: принимая в внимание, что функция, удовлетворяющая подходящим условиям суммируемости, определяет элемент пространства ${\displaystyle \mathrm {L} ^{p}}$. В обратном направлении: для любой функции ${\displaystyle f\in \mathrm {L} (X)}$ и точки ${\displaystyle x\in X}$, не являющейся атомом, значение f(x) не определено[англ.]. Однако, вещественнозначные ${\displaystyle \mathrm {L} ^{p}}$ пространства по-прежнему имеют некоторые из структур, описанных выше. Каждое из ${\displaystyle \mathrm {L} ^{p}}$ пространств является векторным пространством, имеет частичный порядок и существует поточечное умножение «функций», которое меняет p, а именно: ${\displaystyle \cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leqslant \alpha ,\beta \leqslant 1,\quad \alpha +\beta \leqslant 1~.}$ Например, поточечное произведение двух L2 функций принадлежит L1. Другие приложения Другие контексты, где используются вещественнозначные функции и их свойства: монотонные функции (на упорядоченных множествах), выпуклые функции (на векторных и аффинных пространствах), гармонические и субгармонические функции (на римановых многообразиях), аналитические функции (обычно от одной и более вещественных переменных), алгебраические функции (на вещественных алгебраических многообразиях) и многочлены (от одной и более переменных). См. также Теория функций вещественной переменной Дифференциальные уравнения в частных производных — область, в которой часто используются вещественнозначные функции Норма (математика) Скаляр Примечания Существует другое определение производной в общем случае, но для конечных размерностей оно приводит к эквивалентному определению классов гладких функций. Фактически, мера может иметь значения в ${\displaystyle [0,+\infty ]}$: см. Расширенная числовая прямая. Литература Apostol, Tom M. Mathematical Analysis. — 2nd. — Addison–Wesley, 1974. — ISBN 978-0-201-00288-1. Gerald Folland. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. — Second Edition. — John Wiley & Sons, Inc., 1999. — ISBN 0-471-31716-0. Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. — 3rd. — New York: McGraw-Hill, 1976. — ISBN 978-0-07-054235-8. Рудин У. Основы математического анализа / Перевод В. П. Хавина. — второе. — Москва: «Мир», 1976. Ссылки Weisstein, Eric W. Real Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.