Меню Главная Случайная статья Настройки Возвратное состояние Материал из https://ru.wikipedia.org Возвратное состояние — это состояние марковской цепи, посещаемое ею бесконечное число раз. Содержание 1 Определение 2 Критерий возвратности 3 Время возвращения 4 Возвратность неразложимого класса 5 Примечания Определение Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$. Пусть ${\displaystyle f_{ii}^{(n)}=\mathbb {P} (X_{n}=i,\;X_{k}\not =i,\,k=1,\ldots ,n-1\mid X_{0}=i)}$ — вероятность, выйдя из состояния ${\displaystyle i}$, вернуться в него ровно за ${\displaystyle n}$ шагов. Тогда ${\displaystyle f_{ii}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }f_{ii}^{(n)}}$ — вероятность, выйдя из состояния ${\displaystyle i}$, вернуться в него (за конечное или бесконечное время). Состояние ${\displaystyle i}$ называется возвратным (рекуррентным), если ${\displaystyle f_{ii}=1}$. В противном случае состояние называется невозвратным (транзиентным). Критерий возвратности Состояние ${\displaystyle i}$ является возвратным тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий: ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }p_{ii}^{(n)}=\infty }$, где ${\displaystyle p_{ii}^{(n)}=\mathbb {P} (X_{n}=i\mid X_{0}=i)}$. ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup \limits _{n\to \infty }\{X_{n}=i\}\mid X_{0}=i\right)=1}$. Соответственно, состояние ${\displaystyle i}$ невозвратно тогда и только тогда, когда выполнено любое из условий: ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }p_{ii}^{(n)}<\infty }$ [1]. ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup \limits _{n\to \infty }\{X_{n}=i\}\mid X_{0}=i\right)=0}$. Время возвращения Предположим, что ${\displaystyle X_{0}=i}$ почти всюду, и определим случайную величину ${\displaystyle T_{i}}$, равную времени первого возвращения в состояние ${\displaystyle i}$, то есть ${\displaystyle T_{i}=\inf\{n\geq 1\mid X_{n}=i\}}$. Тогда ${\displaystyle T_{i}}$ имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности ${\displaystyle \mathbb {P} (T_{i}=n)=f_{ii}^{(n)}}$. Возвратное состояние ${\displaystyle i}$ называется положительным, если ${\displaystyle \mathbb {E} [T_{i}]=\sum \limits _{n=1}^{\infty }nf_{ii}^{(n)}<\infty }$, и нулевым, если ${\displaystyle \mathbb {E} [T_{i}]=\infty }$. Возвратность неразложимого класса Если состояния ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ сообщаются, и ${\displaystyle i}$ — возвратно, то состояние ${\displaystyle j}$ также возвратно. Более того если состояние ${\displaystyle i}$ положительно, то и состояние ${\displaystyle j}$ также положительно. Таким образом возвратность и положительность — свойство неразложимого класса. Если Марковская цепь неразложима, то говорят о её возвратности и положительности. Примечания Ширяев А. Н. Вероятность. — М:.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 640 с. — ISBN 5-02-013995-6.