Меню Главная Случайная статья Настройки Возвратное уравнение Материал из https://ru.wikipedia.org Возвратное уравнение — алгебраическое уравнение от одной переменной вида ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))=0\Leftrightarrow a_{0}x^{2n+1}+a_{1}x^{2n}+a_{2}x^{2n-1}+\dots }$ ${\displaystyle \dots +a_{n-1}x^{n+2}+a_{n}x^{n+1}+\lambda ^{1}a_{n}x^{n}+\lambda ^{3}a_{n-1}x^{n-1}+\lambda ^{5}a_{n-2}x^{n-2}+\dots }$ ${\displaystyle \dots +\lambda ^{2n-3}a_{2}x^{2}+\lambda ^{2n-1}a_{1}x+\lambda ^{2n+1}a_{0}=0}$ для нечётной степени ${\displaystyle 2n+1}$ и ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}\lambda ^{k}))=0\Leftrightarrow a_{0}x^{2n}+a_{1}x^{2n-1}+a_{2}x^{2n-2}+\dots }$ ${\displaystyle \dots +a_{n-1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+\lambda ^{1}a_{n-1}x^{n-1}+\lambda ^{2}a_{n-2}x^{n-2}+\lambda ^{3}a_{n-3}x^{n-3}+\dots }$ ${\displaystyle \dots +\lambda ^{n-2}a_{2}x^{2}+\lambda ^{n-1}a_{1}x+\lambda ^{n}a_{0}=0}$ для чётной степени ${\displaystyle 2n}$, где ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$. Возвратным многочленом называется многочлен, приравнивающийся к нулю в возвратном уравнении[1]. Содержание 1 Альтернативный способ определения 2 Частные случаи 3 Понижение степени и нахождение корней 4 Разрешимость в радикалах 5 Примечания 6 Ссылки Альтернативный способ определения Многочлен ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{2n+1}(a_{k}x^{k})=}$ ${\displaystyle a_{2n+1}x^{2n+1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}}$ нечётной степени ${\displaystyle 2n+1}$ называется возвратным, если для некоторого ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ равенство ${\displaystyle {\frac {a_{k}}{a_{(2n+1)-k}}}=\lambda ^{2(n-k)+1}}$ верно при любом ${\displaystyle k}$. Многочлен ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{2n}(a_{k}x^{k})=}$ ${\displaystyle a_{2n}x^{2n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}}$ чётной степени ${\displaystyle 2n}$ называется возвратным, если для некоторого ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ равенство ${\displaystyle {\frac {a_{k}}{a_{(2n)-k}}}=\lambda ^{(n-k)}}$ верно при любом ${\displaystyle k}$. Частные случаи В случае, если ${\displaystyle \lambda =1}$, то есть последовательность коэффициентов возвратного многочлена симметрична (является палиндромом), уравнение называется симметрическим или симметричным. Если речь идёт о многочлене, участвующем в уравнении, он называется симметричным (не путать с симметрическим многочленом)[1]. Понижение степени и нахождение корней Любой возвратный многочлен ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))}$ нечётной степени ${\displaystyle 2n+1}$ имеет корень ${\displaystyle -\lambda }$ и представляется в виде произведения линейного многочлена ${\displaystyle (x+\lambda )}$ и многочлена ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}{\Big (}{\frac {x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}}{x+\lambda }}{\Big )}{\Big )}=}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}\sum \limits _{t=0}^{2n-2k}((-1)^{t}x^{t}\lambda ^{2n-2k-t}){\Big )}}$, имеющего чётную степень ${\displaystyle 2n}$ и являющегося возвратным. Докажем, что многочлен ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}\sum \limits _{t=0}^{2n-2k}((-1)^{t}x^{t}\lambda ^{2n-2k-t}){\Big )}}$ является возвратным. Его можно переписать в виде ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}\sum \limits _{t=k}^{2n-k}((-1)^{t-k}x^{t}\lambda ^{2n-k-t}){\Big )}}$, и теперь для ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle {2n-t}}$ в суммировании участвуют одни и те же ${\displaystyle k}$. Тогда коэффициенты при ${\displaystyle x^{t}}$ и ${\displaystyle x^{2n-t}}$ разбиваются на пары ${\displaystyle a_{k}(-1)^{t-k}\lambda ^{2n-k-t}}$ и ${\displaystyle a_{k}(-1)^{(2n-t)-k}\lambda ^{2n-k-(2n-t)}}$ с равными друг другу ${\displaystyle k}$. Отношение чисел любой такой пары равно ${\displaystyle {\frac {a_{k}(-1)^{t-k}\lambda ^{2n-k-t}}{a_{k}(-1)^{(2n-t)-k}\lambda ^{2n-k-(2n-t)}}}=(-1)^{(t-k)-((2n-t)-k)}\lambda ^{(2n-k-t)-(2n-k-(2n-t))}=}$ ${\displaystyle (-1)^{2(t-n)}\lambda ^{2(n-t)}=}$ ${\displaystyle \lambda ^{2(n-t)}}$, следовательно, отношение суммарных коэффициентов при ${\displaystyle x^{t}}$ и ${\displaystyle x^{2n-t}}$ равно тому же числу ${\displaystyle \lambda ^{2(n-t)}}$, а значит, по указанному выше альтернативному определению наш многочлен является возвратным, а число, роль которого в изначальном многочлене нечётной степени играла ${\displaystyle \lambda }$, здесь играет ${\displaystyle \lambda ^{2}}$. Рассмотрим теперь возвратный многочлен ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}\lambda ^{k}))}$ чётной степени ${\displaystyle 2n}$. По определению возвратного многочлена ${\displaystyle a_{0}\lambda ^{n}\neq 0}$, следовательно, ноль не является его корнем и его можно переписать в виде ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{n-k}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}}$, где сумму ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{n-k}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}}$ можно переписать в виде многочлена относительно ${\displaystyle t={\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}}$ степени ${\displaystyle n}$.