Меню Главная Случайная статья Настройки Вполне упорядоченное множество Материал из https://ru.wikipedia.org Вполне упорядоченное множество (сокр. ВУМ) — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть наименьший элемент. Другими словами, это фундированное множество с линейным порядком. Содержание 1 Примеры 2 Свойства 3 См. также 4 Литература 5 Примечания Примеры Пустое множество является вполне упорядоченным. Простейший пример бесконечного вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел с естественным упорядочением. Множество целых чисел не является вполне упорядоченным, так как, например, среди отрицательных чисел нет наименьшего. Однако его можно сделать вполне упорядоченным, если определить нестандартное отношение «меньше или равно»[1], которое обозначим ${\displaystyle \preccurlyeq }$ и определим следующим образом: ${\displaystyle a\preccurlyeq b,}$ если либо ${\displaystyle a=b,}$ либо ${\displaystyle |a|<|b|,}$ либо ${\displaystyle |a|=|b|}$ и ${\displaystyle a<0<b.}$ Тогда порядок целых чисел будет таким: ${\displaystyle 0\preccurlyeq -1\preccurlyeq 1\preccurlyeq -2\preccurlyeq 2\dots }$ В частности, ${\displaystyle -1}$ будет наименьшим отрицательным числом. Простейшим примером несчётного вполне упорядоченного множества является совокупность всех счётных порядковых чисел, упорядоченных отношением ${\displaystyle \in }$. В предположении континуум-гипотезы его мощность равна мощности континуума. Свойства Согласно теореме Цермело, если принять аксиому выбора, то любое множество можно вполне упорядочить. Более того, утверждение о существовании полного порядка для любого множества эквивалентно аксиоме выбора. В частности, при наличии аксиомы выбора множество вещественных чисел можно вполне упорядочить. Если X и Y — два вполне упорядоченных множества, то либо они изоморфны друг другу, либо ровно одно из них изоморфно начальному отрезку другого. См. также Трансфинитная индукция Литература Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с. Примечания