Вриндс — воспитанник клуба «Утрехт». В 2011 году он дебютировал за дублирующий состав. В 2013 году Вриндс на правах аренды перешёл в «Гоу Эхед Иглз». 1 февраля в матче против «Ден Босха» он дебютировал в Эрестедивизи[2]. 4 февраля в поединке против «Вендама» Барт забил свой первый гол за «Гоу Эхед Иглз»[3]. По окончании аренды клуб выкупил трансфер игрока. В 2016 году Вриндс перешёл в роттердамскую «Спарту». 21 августа в матче против своего бывшего клуба «Гоу Эхед Иглз» он дебютировал в Эредивизи[4]. 25 октября в поединке Кубка Нидерландов против ПСВ Барт забил свой первый гол за «Спарту»[5].