Меню Главная Случайная статья Настройки Замечательные пределы Материал из https://ru.wikipedia.org Замечательные пределы — термины, использующиеся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения двух широко известных математических тождеств со взятием предела: Первый замечательный предел: ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$ Второй замечательный предел: ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.}$ Содержание 1 Первый замечательный предел 2 Второй замечательный предел 3 Применение 4 См. также 5 Литература 6 Ссылки Первый замечательный предел ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ Доказательство: Рассмотрим односторонние пределы ${\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}}$ и ${\displaystyle \lim _{x\to {\displaystyle -}0}{\frac {\sin x}{x}}}$ и докажем, что они равны 1. Рассмотрим случай ${\displaystyle x\in \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)}$. Отложим этот угол на единичной окружности так, чтобы его вершина совпадала с началом координат, а одна сторона совпадала с осью ${\displaystyle OX}$. Пусть ${\displaystyle K}$ — точка пересечения второй стороны угла с единичной окружностью, а точка ${\displaystyle L}$ — с касательной к этой окружности в точке ${\displaystyle A=\left(1;0\right)}$. Точка ${\displaystyle H}$ — проекция точки ${\displaystyle K}$ на ось ${\displaystyle OX}$. Очевидно, что: ${\displaystyle S_{\triangle OKA}<S_{sectKOA}<S_{\triangle OAL}}$ (1) (где ${\displaystyle S_{sectKOA}}$ — площадь сектора ${\displaystyle KOA}$) Поскольку ${\displaystyle \left|KH\right|=\sin x,\,\left|LA\right|=\operatorname {tg} x}$: ${\displaystyle S_{\triangle OKA}={\frac {1}{2}}\cdot \left|OA\right|\cdot \left|KH\right|={\frac {1}{2}}\cdot 1\cdot \sin x={\frac {\sin x}{2}}}$ ${\displaystyle S_{sectKOA}={\frac {1}{2}}\cdot \left|OA\right|^{2}\cdot x={\frac {x}{2}}}$ ${\displaystyle S_{\triangle OAL}={\frac {1}{2}}\cdot \left|OA\right|\cdot \left|LA\right|={\frac {\operatorname {tg} x}{2}}}$ Подставляя в (1), получим: ${\displaystyle {\frac {\sin x}{2}}<{\frac {x}{2}}<{\frac {\operatorname {tg} x}{2}}}$ Так как при ${\displaystyle x\to +0:\sin x>0,\,x>0,\,\operatorname {tg} x>0}$: ${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {tg} x}}<{\frac {1}{x}}<{\frac {1}{\sin x}}}$ Умножаем на ${\displaystyle \sin x}$: ${\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1}$ Перейдём к пределу: ${\displaystyle \lim _{x\to +0}\cos x\leqslant \lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}\leqslant 1}$ ${\displaystyle 1\leqslant \lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}\leqslant 1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ Найдём левый односторонний предел (так как функция четна, в этом нет необходимости, достаточно доказать это для правого предела): ${\displaystyle \lim _{x\to -0}{\frac {\sin x}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=-x\\x=-u\\u\to +0\\x\to -0\end{matrix}}\right]=\lim _{u\to +0}{\frac {\sin(-u)}{-u}}=\lim _{u\to +0}{\frac {-\sin(u)}{-u}}=\lim _{u\to +0}{\frac {\sin(u)}{u}}=1}$ Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1. Следствия: ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {tg} x}{x}}=1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arcsin} x}{x}}=1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arctg} x}{x}}=1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{\frac {x^{2}}{2}}}=1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {tg} x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x\cos x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {1}{\cos x}}=1\cdot 1=1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arcsin} x}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=\operatorname {arcsin} x\\x=\sin u\\u\to 0\\x\to 0\end{matrix}}\right]=\lim _{u\to 0}{\frac {u}{\sin u}}=1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arctg} x}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=\operatorname {arctg} x\\x=\operatorname {tg} u\\u\to 0\\x\to 0\end{matrix}}\right]=\lim _{u\to 0}{\frac {u}{\operatorname {tg} u}}=1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{\frac {x^{2}}{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cdot \sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\cdot \left({\frac {x}{2}}\right)^{2}}}=\lim _{{\frac {x}{2}}\to 0}\left({\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\frac {x}{2}}}\right)^{2}=1^{2}=1}$ Второй замечательный предел ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$ Доказательство существования второго замечательного предела: