Меню Главная Случайная статья Настройки Выпучивание Материал из https://ru.wikipedia.org Выпучивание — потеря устойчивости конструкции при приложении внешней нагрузки, сопровождаемая изменением формы. Задача Эйлера Пусть для тонкой балки с постоянным поперечным сечением (S), опора которой имеет шарнирное неподвижное закрепление, а на второй конец закреплённый на подвижном шарнире, действует сила (P) направленная вдоль оси. Тогда при малой силе, напряжение в балке определяется выражением ${\displaystyle \sigma =P/S\,.}$ При увеличении силы после достижения критического значения происходит выпучивание, и балка приобретает кривизну[1] ${\displaystyle \kappa =\pm {\frac {M}{EI}}\,,}$ где M — изгибающий момент, I — минимальный момент инерции сечения балки, E — модуль Юнга. Для пологой кривой кривизна запишется через прогиб ${\displaystyle v}$ в виде[2] ${\displaystyle \kappa =\mp {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\,,}$ где изгибающий момент равен ${\displaystyle M=\pm Pv\,.}$ Тогда ${\displaystyle EI{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}=-Pv\,.}$ Это дифференциальное уравнение второго порядка решается для граничных условий закрёплённых концов или v(0)=v(l)=0, где l — длина балки. Что приводит к синусоидальной форме балки и значению для критической силы[3] ${\displaystyle P_{c}={\frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}}\,,}$ которая называется формулой Эйлера. Примечания Вольмир, 1967, с. 17. Вольмир, 1967, с. 18. Вольмир, 1967, с. 20. Литература Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. — М.: Наука, 1967. — 984 с.