Меню Главная Случайная статья Настройки Вязкостное решение Материал из https://ru.wikipedia.org Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения. Содержание 1 Определения 1.1 Вырожденное эллиптическое уравнение 1.1.1 Примеры 1.2 Вязкостное решение 2 История 3 Ссылки 4 Литература Определения Вырожденное эллиптическое уравнение Дифференциальное уравнение в частных производных ${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$, заданное в области ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$, является вырожденным эллиптическим, если для любых двух симметричных матриц ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ таких, что их разница ${\displaystyle Y-X}$ положительно определенна, и любых значений ${\displaystyle x\in \Omega }$, ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ выполняется неравенство ${\displaystyle F(x,u,p,X)\geqslant F(x,u,p,Y).}$ Уравнение Лапласа ${\displaystyle -\Delta u=0}$. Любое уравнение первого порядка. Вязкостное решение Полунепрерывная сверху функция ${\displaystyle u}$, заданная в ${\displaystyle \Omega }$, называется вязкостным подрешением этого уравнения, если для любой точки ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ и любой гладкой функции ${\displaystyle \phi }$ такой, что ${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$ и ${\displaystyle \phi \geqslant u}$ в некоторой окрестности ${\displaystyle x_{0}}$, выполняется неравенство ${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leqslant 0.}$ Аналогично полунепрерывная снизу функция ${\displaystyle u}$, заданная в ${\displaystyle \Omega }$, называется вязкостным надрешением этого уравнения, если для любой точки ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ и любой гладкой функции ${\displaystyle \phi }$ такой, что ${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$ и ${\displaystyle \phi \leqslant u}$ в некоторой окрестности ${\displaystyle x_{0}}$ выполняется неравенство ${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geqslant 0.}$ Непрерывная функция ${\displaystyle u}$ является вязкостным решением вырожденного эллиптического уравнения, если оно является подрешением и надрешением одновременно. История Термин впервые появляются в работе Крэндалла[англ.] и Лионса в 1983 году[1] для решений уравнения Гамильтона — Якоби. Определение фактически дано Эвансом[англ.] ранее, в 1980 году.[2] Определение было уточнено в совместной работе всех троих.[3] Ссылки Crandall, Michael G.; Lions, Pierre-Louis (1983), Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Transactions of the American Mathematical Society, 277 (1): 1–42, doi:10.2307/1999343, ISSN 0002-9947 Литература Т. А. Белкина, Ю. М. Кабанов. Вязкостные решения интегродифференциальных уравнений для вероятности неразорения (рус.) // ТВП. — 2015. — Т. 60, № 4. — С. 802–810. — doi:10.4213/tvp5036.