Гелашвили — воспитанник чешских клубом «Браник», «Богемианс 1905» и «Спарта»[1]. 26 ноября 2020 года Ива впервые попал в заявку последних на матч Лиги Европы УЕФА против шотландского «Селтика»[2]. В июле 2022 года на правах свободного агента защитник стал игроком батумского клуба «Динамо».
1 августа на правах аренды до конца сезона Гелашвили стал игроком «Сиони». 5 сентября в матче против «Сабуртало» он дебютировал в чемпионате Грузии[3]. В январе 2023 года до конца сезона был арендован клубом «Сабуртало». 8 марта в матче против «Шукура» он дебютировал за новый клуб[4]. 18 марта в матче против «Самтредиа» он забил первый гол за новую команду[5].
23 августа был отдан в аренду итальянскому клубу «Специя»[6]. 3 сентября в проигранном матче против «Комо» он дебютировал в итальянской Серии B[7].