Георгий Адамиа начал свою спортивную карьеру в Грузии, играя за клубы ТГУ и «ВИТ Джорджия». В 2004 году в составе «ВИТ-Джорджии» стал чемпионом Грузии.
После этого «Нефтчи», Футбольный клуб из Баку (Азербайджан) приобрел Георгия. Выступая за «Нефтчи», Адамиа выиграл один чемпионат азербайджанской Премьер-лиги и один раз занял второе место. Также в 2005 году вместе с «Нефтчи» он занял второе место в розыгрыше Кубка чемпионов Содружества. В 2006 году вместе со своей командой выиграл в Кубке чемпионов Содружества.
Проведя пять сезонов в составе «Нефтчи», Адамия перешёл в другой клуб из столицы Азербайджана — ФК «Баку», затем выступал за «Карабах» и бакинский «Интер». В составе «Карабаха» стал лучшим бомбардиром чемпионата Азербайджана 2010/11 с 18 голами[5][6].
Перед началом сезона 2013/14 Адамия вернулся в Грузию. Выступал за «Зестафони» и «Сиони».