Первый тренер — Элгуджа Кометиани. Выступал за команды — «Одиши 2001», «Мглеби» (сейчас — «Зугдиди») и «Олимпи» из города Рустави.
В 2009 году попал в тбилисский клуб «Гагра». В первой половине сезона 2009/10 в чемпионате Грузии забил 10 мячей в 19 матчах. В матче против тбилисского «Динамо» Габедава забил 4 гола[3]. На зимние сборы 2010 года Георгий отправился вместе с «Гагрой», в товарищеском матче против мариупольского «Ильичёвца» (0:3, в пользу «Гагры»)[4], его заметили тренера «Ильичёвца». В феврале 2010 года его заявили за «Ильичёвец» под номером 55[5]. В Премьер-лиге Украины дебютировал 27 февраля 2010 года в выездном матче против запорожского «Металлурга» (2:0)[6], Габедава вышел на 62 минуте вместо Вадима Мельника. Главный тренер «Ильичёвца» Илья Близнюк отмечал хороший удар Габедавы[7].