Ru.Wikipedia.Org - Правильный семиугольник

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Правильный семиугольник
Материал из https://ru.wikipedia.org

Правильный семиугольник — правильный многоугольник с семью сторонами.

Содержание

Свойства

Пусть

t

— сторона семиугольника,

R

— радиус описанной окружности,

r

— радиус вписанной окружности.

t=2R\sin {\frac {\pi }{7}}=2r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}~;~r=R\cos {\frac {\pi }{7}}

Периметр правильного семиугольника равен

P=7t=14R\sin {\frac {\pi }{7}}=14r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}

Площадь правильного семиугольника рассчитывается по формулам:

S={\frac {7}{4}}t^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{7}}

S={\frac {7}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{7}}

S=7r^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}

Диагонали

d

D

связаны со стороной

a

правильного семиугольника соотношением

{1 \over d}+{1 \over D}={1 \over a}

.

Отношение меньшей диагонали

d

к стороне

a

равно большему корню уравнения

x^{3}-x^{2}-2x+1=0

Отношение большей диагонали

D

к стороне

a

равно большему корню уравнения

x^{3}-2x^{2}-x+1=0

Построение

Точное

Согласно теореме Гаусса — Ванцеля, правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить с помощью циркуля и невсиса, то есть размеченной линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).

Построим квадрат PQRO со стороной a (см. рис.). Проведём дугу окружности с центром O и радиусом OQ. Возьмём линейку невсиса с диастемой (длиной) a и используя вертикальную ось симметрии квадрата в качестве направляющей, точку P в качестве полюса и дугу окружности в качестве целевой линии, получим отрезок AB, который будет стороной правильного семиугольника, с вертикальной осью симметрии, совпадающей с осью симметрии квадрата.

Приближённое

Приближённое (но с достаточной для практики точностью 0,2 %) построение семиугольника показано на рисунке. Из точки

A

на окружности радиусом, равным радиусу окружности, проводим дугу

BOC

. Отрезок

BD={1 \over 2}BC

и даст искомое приближение.

Семиугольные звёзды

Существует два звёздчатых семиугольника (гептаграммы): 7/2 и 7/3. Методы их построения аналогичны построению обычного семиугольника, только вершины нужно соединять через одну (7/2) или через две (7/3).

Семиугольная звезда 7/2
Семиугольная звезда 7/3

Применение

В Великобритании используются две монеты в форме семиугольника: 50 пенсов и 20 пенсов. Строго говоря, форма монет — криволинейный семиугольник, образующий кривую постоянной ширины, чтобы монеты плавно проходили в автоматы. Семиугольный кант аналогичной криволинейной формы имеет круглая монета номиналом в 10 киргизских сом.

Звезда Содружества — семилучевая звезда, символизирующая Федерацию Австралии.

Семиугольная звезда 7/2 являлась национальным символом Грузии и применялась, как элемент герба Грузии, в том числе и в советское время. В настоящее время не применяется.

Семиугольная звезда 7/3 является эмблемой компании A.P. Moller-Maersk Group.