Меню Главная Случайная статья Настройки Гильбертов кирпич Материал из https://ru.wikipedia.org Гильбертов кирпич (или гильбертов куб) — топологическое пространство, названное в честь Давида Гильберта, гомеоморфное произведению счётного числа копий отрезков ${\displaystyle [0,1]}$ (с топологией произведения). Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Примечания 4 Литература 5 См. также Определение Формально гильбертов кирпич — множество точек гильбертова пространства, координаты которых в некотором ортонормированном базисе удовлетворяют соотношениям ${\displaystyle 0\leqslant x_{n}\leqslant a_{n}}$, где a = {${\displaystyle {a_{n}}}$} является точкой гильбертова пространства[1]. Гильбертов кирпич является выпуклой оболочкой множества векторов, у которых некоторая координата равна нулю, либо ${\displaystyle a_{n}}$ (вершины гильбертова кирпича)[1]. Свойства По теореме Тихонова гильбертов кирпич компактен. Гильбертов кирпич является метризуемым, так как он гомеоморфен следующему подмножеству гильбертова пространства ${\displaystyle \ell ^{2}}$: ${\displaystyle \left[0,1\right]\times \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\times \left[0,{\tfrac {1}{3}}\right]\times \dots ,}$ то есть точками гильбертова кирпича являются бесконечные последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ гильбертова пространства ${\displaystyle \ell ^{2}}$, такие, что ${\displaystyle 0\leqslant x_{n}\leqslant {\frac {1}{n}}}$. Гильбертов кирпич, вложенный в гильбертово пространство, имеет пустую внутренность, то есть он не содержит непустых открытых подмножеств. Гильбертов кирпич универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространств. То есть любое компактное (сепарабельное) метрическое пространство гомеоморфно подмножеству гильбертова кирпича. Примечания 1 2 А. Б. Каток, “О проекциях гильбертова кирпича на прямые”, УМН, 19:6(120) (1964), 167–173  (неопр.). www.mathnet.ru. Дата обращения: 31 июля 2025. Литература Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 137—139. — 752 с. Тихоновский куб — статья из Математической энциклопедии. Архангельский А. В. См. также Единичный куб Тихоновский куб