Меню Главная Случайная статья Настройки Гиперэллиптическая поверхность Материал из https://ru.wikipedia.org Гиперэллиптическая или биэллиптическая поверхность — это поверхность, морфизм Альбанезе которой является эллиптическим расслоением[англ.]. Любая такая поверхность может быть записана как факторгруппа произведения двух эллиптических кривых по конечной абелевой группе. Гиперэллиптические поверхности образуют один из классов с размерностью Кодайры[англ.] 0 в классификации Энриквеса — Кодайры. Содержание 1 Инварианты 2 Классификация 3 Квазигигиперэллиптические пространства 4 Примечания 5 Литература Инварианты Размерность Кодайры равна 0. Ромб Ходжа: 1 1 1 0 2 0 1 1 1 Классификация Любая гиперэллипическая поверхность является фактором ${\displaystyle (E{\times }F)/G}$, где ${\displaystyle E=\mathbf {C} /\Lambda }$, F — эллиптические кривые, а G — подгруппа группы F (действующая на F переносами). Существует семь семейств гиперэллиптических поверхностей. Порядок K ${\displaystyle \Lambda }$ G Действие G на E 2 Любая ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle e\rightarrow -e}$ 2 Любая ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle e\rightarrow -e,e\rightarrow e+c,-c=c}$ 3 ${\displaystyle \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /3\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle e\rightarrow \omega e}$ 3 ${\displaystyle \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /3\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /3\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle e\rightarrow \omega e,e\rightarrow e+c,{\omega }c=c}$ 4 ${\displaystyle \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} i}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle e\rightarrow ie}$ 4 ${\displaystyle \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} i}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle e\rightarrow ie,e\rightarrow e+c,ic=c}$ 6 ${\displaystyle \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /6\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle e\rightarrow -{\omega }e}$ Здесь ${\displaystyle \omega }$ — первообразный кубический корень из 1, а i — примитивный корень 4-й степени из 1. Квазигигиперэллиптические пространства Квазигигиперэллиптическое пространство — это поверхность, канонический дивизор которого численно эквивалентен нулю, отображение Альбанезе[англ.] отображает в эллиптическую кривую, а все его слои являются рациональными кривыми с каспами. Они существуют только в характеристиках 2 или 3. Их второе число Бетти равно 2, второе число Чженя равно нулю, как и голоморфная эйлерова характеристика[англ.]. Классификацию провели Бомбиери и Мамфорд[1], которые нашли шесть случаев в характеристике 3 (в этом случае 6K= 0) и восемь случаев в характеристике 2 (в этом случае равно нулю 6K или 4K). Любая квазиэллиптическая поверхность является фактором ${\displaystyle (E-F)/G}$, где E — рациональная кривая с одним каспом, F является эллиптической кривой, а G является конечной групповой подсхемой[англ.] группы F (действующей на F переносами). Примечания Bombieri, Mumford, 1976. Литература Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Springer-Verlag, Berlin, 2004. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). — ISBN 978-3-540-00832-3. Enriques' classification of surfaces in char. p. III. // Inventiones Mathematicae. — 1976. — Т. 35. — С. 197–232. — ISSN 0020-9910. — doi:10.1007/BF01390138. Complex analysis and algebraic geometry. — Tokyo: Iwanami Shoten, 1977. — С. 23–42.