Меню Главная Случайная статья Настройки Гипотеза Албертсона Материал из https://ru.wikipedia.org Гипотеза Албертсона — недоказанная связь между числом пересечением и хроматическим числом графа. Гипотеза носит имя Михаила О. Албертсона, профессора колледжа Смит, который сформулировал утверждение в качестве гипотезы в 2007[1]. Гипотеза является одной из многих гипотез в теории раскраски графов[2]. Гипотеза утверждает, что среди всех графов, требующих n цветов, полный граф Kn находится среди графов, имеющих наименьшее число пересечений. Эквивалентно, если граф может быть нарисован с меньшим числом пересечений, чем у Kn, тогда, согласно гипотезе, его можно раскрасить в меньше чем n цветов. Содержание 1 Гипотетическая формула минимального числа пересечений 2 Асимптотические границы 3 Специальные случаи 4 Связанные гипотезы 5 Примечания 6 Литература Гипотетическая формула минимального числа пересечений Напрямую можно показать, что граф с ограниченным числом пересечений имеет ограниченное хроматическое число — можно назначить различные цвета концам всех пересекающихся рёбер и выкрасить в 4 цвета оставшийся после удаления этих рёбер планарный граф. Гипотеза Албертсона заменяет эту качественную связь между числом пересечений и числом цветов более точной количественной связью. Другая гипотеза Ричарда К. Гая[3] утверждает, что число пересечений полного графа Kn равно ${\displaystyle {\textrm {cr}}(K_{n})={\frac {1}{4}}\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-2}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-3}{2}}\right\rfloor .}$ Известно, каким образом рисовать полные графы с таким числом пересечений, располагая вершины на двух концентрических окружностях. Что неизвестно, так это существуют ли рисунки с меньшим числом пресечений. Таким образом, усиленная формулировка гипотезы Албертсона гласит, что любой n-хроматический граф имеет число пересечений, не меньший правой части этой формулы[4]. Эта усиленная гипотеза справедлива тогда и только тогда, когда обе гипотезы, гипотеза Гая и гипотеза Албертсона, верны. Асимптотические границы Более слабая форма гипотезы, доказанная М. Шефером[4], утверждает, что любой граф с хроматическим числом n имеет число пересечений (n4), или, эквивалентно, что любой граф с числом пересечений k имеет хроматическое число O(k1/4). Алберсон, Крэтсон и Фокс[4] опубликовали доказательство этих границ путём комбинации факта, что любой минимальный n-хроматический граф имеет минимальную степень, не меньшую ${\displaystyle n-1}$ (в противном случае можно было бы раскрасить его в ${\displaystyle (n-1)}$ цветов после удаления вершины с малой степенью, раскраски оставшегося графа и использования доступного цвета для удалённой вершины, что противоречит минимальности графа) вместе с неравенством для числа пересечений, согласно которому любой граф ${\displaystyle G=(V,E)}$ с ${\displaystyle |E|/|V|\geqslant 4}$ имеет число пересечений ${\displaystyle \Omega (|E|^{3}/|V|^{2}}$). Используя те же доводы, они показывают, что контрпример гипотезе Албертсона с хроматическим числом n (если таковой существует) должен иметь менее 4 n вершин. Специальные случаи Гипотеза Албертсона является не имеющим содержания истинным утверждением[англ.] для ${\displaystyle n\leqslant 4}$ — ${\displaystyle K_{4}}$ имеет число пересечений нуль и все графы имеют число пересечений, не меньшее нуля. Случай ${\displaystyle n=5}$ гипотезы Албертсона эквивалентен теореме о чётырёх красках, что любой планарный граф может быть раскрашен в четыре или меньше цветов, а единственные графы, для которых требуется меньше пересечений, чем у графа K5, это планарные графы, по гипотезе же они должны быть не более чем 4-хроматическими. Благодаря поддержке некоторых групп авторов сейчас известно, что гипотеза верна для всех ${\displaystyle n\leqslant 16}$[5][4][6]. Для любого целого числа ${\displaystyle c\geqslant 6}$ Луис и Рихтер представили семейства (c+1)-критических по цвету графов, которые не содержат подразделения полного графа K(c+1), но имеющие число пересечений, не меньшее K(c+1)[7]. Связанные гипотезы Существует также связь с гипотезой Хадвигера, важной открытой проблеме комбинаторики, касающейся связи между хроматическим числом и существованием больших клик в качестве миноров графа[6]. Вариант гипотезы Хадвигера, выдвинутый Дьёрдьем Хайошем, утверждает, что любой n-хроматический граф содержит подразделение Kn. Если бы гипотеза была верна, из неё вытекала бы гипотеза Албертсона, поскольку число пересечений полного графа не меньше числа пересечений подразделения. Однако в настоящее время известны контрпримеры гипотезе Хайоша[8][9], так что эта связь не даёт возможности доказательства гипотезы Албертсона. Примечания Согласно Албертсону, Кранстону и Фоксу(Albertson, Cranston, Fox 2009) гипотеза была сделана Албертсоном на специальной сессии Американского математического общества в Чикаго, состоявшейся в октябре 2007. Hutchinson, 2009. Guy, 1972. 1 2 3 4 Albertson, Cranston, Fox, 2009. Oporowski, Zhao, 2009. 1 2 Bart, Tth, 2010. Luiz, Richter, 2014. Catlin, 1979. Erds, Fajtlowicz, 1981. Литература Joan P. Hutchinson. In memory of Michael O. Albertson, 1946–2009: a collection of his outstanding conjectures and questions in graph theory. — SIAM Activity group on Discrete Mathematics, 2009. Michael O. Albertson, Daniel W. Cranston, Jacob Fox. Colorings, crossings, and cliques // Electronic Journal of Combinatorics. — 2009. — Т. 16. — С. R45. — arXiv:1006.3783.. Jnos Bart, Gza Tth. Towards the Albertson Conjecture // Electronic Journal of Combinatorics. — 2010. — Т. 17, вып. 1. — С. R73. — arXiv:0909.0413.. Catlin P. A. Hajs's graph-colouring conjecture: variations and counterexamples // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 1979. — Т. 26, вып. 2. — С. 268–274. — doi:10.1016/0095-8956(79)90062-5.. Paul Erds, Siemion Fajtlowicz. On the conjecture of Hajs // Combinatorica. — 1981. — Т. 1, вып. 2. — С. 141–143. — doi:10.1007/BF02579269.. Oporowski B., Zhao D. Coloring graphs with crossings // Discrete Mathematics. — 2009. — Т. 309, вып. 9. — С. 2948–2951. — doi:10.1016/j.disc.2008.07.040. — arXiv:math/0501427. Atlio Luiz, Bruce Richter. Remarks on a conjecture of Bart and Tth // Electronic Journal of Combinatorics. — 2014. — Т. 21, вып. 1. — С. P1.57.