Меню Главная Случайная статья Настройки Гипотеза Гильбрайта Материал из https://ru.wikipedia.org Гипотеза Гильбрайта — гипотеза в теории чисел, утверждающая, что если взять последовательность простых чисел и итерационно применять к ней разностный оператор, то получаемые на каждом шаге последовательности всегда будут начинаться на 1. Гипотеза получила известность после того, как была опубликована в 1958 году Норманом Гильбрайтом[1]. Однако, ещё в 1878 году Франсуа Прот[англ.] публиковал предполагаемое доказательство этой же гипотезы, которое, как затем выяснилось, было ошибочным[1]. Содержание 1 Истоки гипотезы 2 Гипотеза 3 Проверка и попытки доказательства 4 Последовательности для простых чисел до 150 5 См. также 6 Примечания 7 Литература 8 Ссылки Истоки гипотезы Рассмотрим последовательность простых чисел ${\displaystyle 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\dots }$ Вычислим абсолютные значения разностей между каждой парой соседних членов и выпишем полученную последовательность: ${\displaystyle 1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,\dots }$ Продолжая выполнять данную операцию для каждой новой полученной последовательности, будем получать следующее: ${\displaystyle 1,0,2,2,2,2,2,2,4,\dots }$ ${\displaystyle 1,2,0,0,0,0,0,2,\dots }$ ${\displaystyle 1,2,0,0,0,0,2,\dots }$ ${\displaystyle 1,2,0,0,0,2,\dots }$ ${\displaystyle 1,2,0,0,2,\dots }$ Видим, что первый элемент каждой последовательности равен ${\displaystyle 1}$. Гипотеза Сформулировать гипотезу Гильбрайта проще, если ввести некоторые обозначения для последовательностей из предыдущей секции. обозначим ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ упорядоченную последовательность простых чисел ${\displaystyle p_{n}}$, и определим члены последовательности ${\displaystyle \{d_{n}\}}$ как ${\displaystyle d_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$, где n — натуральное. Считаем также, что ${\displaystyle \{d_{n}\}=\{d_{n}^{1}\}}$ и для каждого натурального ${\displaystyle k>1}$, определим последовательность ${\displaystyle \{d_{n}^{k}\}}$ формулой ${\displaystyle d_{n}^{k}=|d_{n+1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}|}$. (здесь ${\displaystyle k}$ — это не степень, а верхний индекс) Гипотеза Гильбрайта утверждает, что каждый член последовательности ${\displaystyle a_{k}=d_{1}^{k}}$ равен ${\displaystyle 1}$. Проверка и попытки доказательства На 2011 год не было правильного опубликованного доказательства гипотезы. Как уже говорилось во введении, Франсуа Прот[англ.] привёл доказательство утверждения, однако позже было показано, что оно ошибочно. Эндрю Одлыжко[англ.] в 1993 проверил, что ${\displaystyle d_{1}^{k}}$ равно 1 для всех ${\displaystyle k\leqslant n=3{,}4\cdot 10^{11}}$[2], но гипотеза остается открытой проблемой. Вместо вычисления всех ${\displaystyle n}$ рядов таблицы, Одлыжко вычислил 635 рядов и установил, что 635-й ряд начинается с 1 и далее вплоть до ${\displaystyle n}$-го элемента состоит только из чисел 0 и 2. Отсюда следует, что все последующие ${\displaystyle n}$ рядов начинаются с единицы. Последовательности для простых чисел до 150 В таблице ниже нули выделены зелёным цветом, единицы — красным, двойки — синим, прочие числа — серым. Суть гипотезы состоит в том, что серая область никогда не достигнет красного столбца из единиц. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8 4 2 4 2 4 14 4 6 2 10 1 0 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 0 4 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 10 10 2 4 8 1 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 4 0 2 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 8 0 8 2 4 1 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 4 2 2 2 0 2 0 2 0 2 0 0 8 8 8 6 2 1 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 8 0 0 2 4 1 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 2 8 8 0 2 2 1 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 6 0 8 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 4 6 8 6 2 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 4 1 0 0 0 0 0 2 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 0 0 2 1 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 0 2 0 0 2 1 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 2 2 0 2 1 0 2 2 0 2 2 0 0 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 2 2 1 2 0 2 2 0 2 0 2 0 0 0 2 2 0 0 2 0 2 0 1 2 2 0 2 2 2 2 2 0 0 2 0 2 0 2 2 2 2 1 0 2 2 0 0 0 0 2 0 2 2 2 2 2 0 0 0 1 2 0 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 2 0 0 1 2 2 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 2 0 1 0 0 2 0 2 2 0 2 2 0 0 2 0 2 1 0 2 2 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 1 2 0 0 2 2 0 2 2 2 2 0 0 1 2 0 2 0 2 2 0 0 0 2 0 1 2 2 2 2 0 2 0 0 2 2 1 0 0 0 2 2 2 0 2 0 1 0 0 2 0 0 2 2 2 1 0 2 2 0 2 0 0 1 2 0 2 2 2 0 1 2 2 0 0 2 1 0 2 0 2 1 2 2 2 1 0 0 1 0 1 См. также Пробелы между простыми Открытые проблемы в теории чисел Примечания 1 2 Caldwell, Chris, The Prime Glossary: Gilbreath's conjecture, The Prime Pages, Архивировано 26 мая 2012 Источник . Дата обращения: 3 февраля 2012. Архивировано 24 марта 2012 года.. Литература Ссылки Weisstein, Eric W. Гипотеза Гильбрайта (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.