Меню Главная Случайная статья Настройки Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа Материал из https://ru.wikipedia.org Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма. Содержание 1 Предыстория 2 Гипотеза 3 Известные решения для (k, m, n), k = m + n 3.1 (4, 2, 2) 3.2 (4, 1, 3) 3.3 (5, 1, 4) 3.4 (5, 2, 3) 3.5 (6, 3, 3) 3.6 (8, 3, 5) 3.7 (8, 4, 4) 4 Некоторые решения для (k, k, 1) 4.1 k = 3 4.2 k = 4 4.3 k = 5 4.4 k = 6 4.5 k = 7 4.6 k = 8 4.7 k 9 5 Примечания 6 Литература 7 Ссылки Предыстория Целочисленные решения диофантовых уравнений, например, целочисленные решения уравнения ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, связанного с теоремой Пифагора, изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней ${\displaystyle k>2}$ уравнение ${\displaystyle a^{k}+b^{k}=c^{k}}$ не имеет решения в натуральных числах ${\displaystyle a,b,c}$. В 1769 году Леонард Эйлер, увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу, которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнения ${\displaystyle {\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=c^{3}\\a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\\dots \\\sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}\end{matrix}}}$ не имеют решения в натуральных числах. В 1966 году Леон Дж. Ландер (англ. Leon. J. Lander) и Томас Р. Паркин (англ. Thomas. R. Parkin) нашли для ${\displaystyle k=5}$ контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера[1]: ${\displaystyle 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.}$ Для ${\displaystyle k=4}$ первым контрпример нашёл Ноам Элкис в 1988 году.[2] Наименьшее решение, найденное в том же году (Roger Frye, 1988) таково: ${\displaystyle 414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}=422481^{4},}$ Однако для ${\displaystyle k=6}$ гипотеза Эйлера остаётся открытой. Гипотеза В 1967 году Ландер, Паркин и Джон Селфридж[англ.] предположили[3], что уравнение ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k}}$ может иметь нетривиальное решение в натуральных числах, только если ${\displaystyle k\leq m+n}$. Из великой теоремы Ферма вытекает справедливость гипотезы для случая ${\displaystyle (k,2,1),k>3}$ и отсутствие решений для ${\displaystyle (3,2,1)}$. Поиск решений уравнений ${\displaystyle (k,m,n)}$ для некоторых степеней оказывается трудной задачей не только для ${\displaystyle k=m+n}$, но и для ${\displaystyle k<m+n}$. Поиском решений для различных ${\displaystyle (k,m,n)}$ занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet[4] и yoyo@home. Известные решения для (k,m,n),k=m+n По состоянию на 2006 год известны следующие решения для (k, m, n) при k = m + n:[5] (4, 2, 2) ${\displaystyle 158^{4}+59^{4}=134^{4}+133^{4}}$, бесконечно много решений. (4, 1, 3) ${\displaystyle 422481^{4}=414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}}$, бесконечно много решений. (5, 1, 4) ${\displaystyle 144^{5}=133^{5}+110^{5}+84^{5}+27^{5}}$, известно 2 решения. (5, 2, 3) ${\displaystyle 14132^{5}+220^{5}=14068^{5}+6237^{5}+5027^{5}}$, известно 1 решение. (6, 3, 3) ${\displaystyle 23^{6}+15^{6}+10^{6}=22^{6}+19^{6}+3^{6}}$, бесконечно много решений. (8, 3, 5) ${\displaystyle 966^{8}+539^{8}+81^{8}=954^{8}+725^{8}+481^{8}+310^{8}+158^{8}}$, известно 1 решение. (8, 4, 4) ${\displaystyle 3113^{8}+2012^{8}+1953^{8}+861^{8}=2823^{8}+2767^{8}+2557^{8}+1128^{8}}$, известно 1 решение. Некоторые решения для (k,k, 1) k= 3 ${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$ . k= 4 ${\displaystyle 30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}=353^{4}}$ (R. Norrie, 1911)[3] k= 5 ${\displaystyle 19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}=72^{5}}$ (Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)[3] k= 6 Решения неизвестны. k= 7 ${\displaystyle 127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}=568^{7}}$ (M. Dodrill, 1999) k= 8 ${\displaystyle 90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8}=1409^{8}}$ (Scott Chase, 2000) k 9 Решения неизвестны. Примечания L. J. Lander, T. R. Parkin. Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. : journal. — 1966. — Vol. 72. — P. 1079. — doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3. Noam Elkies. On A4 + B4 + C4 = D4 (рум.) // Mathematics of Computation[англ.]. — 1988. — Т. 51, nr. 184. — P. 825—835. — doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. — . Архивировано 31 июля 2021 года. 1 2 3 L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge; Parkin; Selfridge. A Survey of Equal Sums of Like Powers (англ.) // Mathematics of Computation[англ.] : journal. — 1967. — Vol. 21, no. 99. — P. 446—459. — doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. — . EulerNet . Дата обращения: 16 августа 2015. Архивировано 9 декабря 2013 года. Math Games, Ed Pegg Jr., Power Sums Литература Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory (неопр.) . — 3rd. — New York, NY: Springer-Verlag, 2004. — С. D1. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 0-387-20860-7. — . Ссылки EulerNet Архивная копия от 9 декабря 2013 на Wayback Machine Гипотеза Эйлера Архивная копия от 21 июня 2013 на Wayback Machine Equal Sums of Powers - Tables Архивная копия от 6 мая 2021 на Wayback Machine Tito Piezas III: A Collection of Algebraic Identities Архивная копия от 1 октября 2011 на Wayback Machine Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--5th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--6th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--7th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--8th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Euler's Sum of Powers Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Euler Quartic Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--4th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Euler’s Conjecture at library.thinkquest.org Mathematicians Find New Solutions To An Ancient Puzzle Архивная копия от 11 июля 2015 на Wayback Machine