Годинес — воспитанник клуба «Гвадалахара». 7 мая 2017 года в матче против «Некаксы» он дебютировал в мексиканской Примере[3]. 17 сентября в поединке против столичной «УНАМ Пумас» Хосе забил свой первый гол за «Гвадалахару»[4]. В том же году Годинес стал чемпионом Мексики. В 2018 году он стал победителем Лиги чемпионов КОНКАКАФ, забив гол в ответном поединке против «Сиэтл Саундерс»[5]. Летом 2019 года Годинес был арендован «Леоном». 18 августа в матче против «Гвадалахары» он дебютировал за новую команду[6].