Граф назван именем Филипа Франклина[англ.], опровергшего гипотезу Хивуда о числе цветов, необходимых для раскраски двумерных поверхностей, разделённых на ячейки при вложении графа[2][3]. Согласно гипотезе Хивуда максимальное хроматическое число карты на бутылке Клейна должно равняться семи, однако Франклин доказал, что для данного графа шести цветов всегда достаточно. Граф Франклина может быть вложен в бутылку Клейна так, что он образует карту, требующую шесть цветов, что показывает, что в некоторых случаях шести цветов достаточно. Это вложение является Петри двойственным вложения в проективную плоскость (вложение показано ниже).
