Меню Главная Случайная статья Настройки Гребень Дирака Материал из https://ru.wikipedia.org Гребень Дирака — это периодическое распределение Шварца, построенное из дельта-функций ${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}$ для некоторого заданного периода ${\displaystyle T}$. Ряды Фурье Очевидно, что ${\displaystyle \Delta _{T}(t)}$ периодическая с периодом ${\displaystyle T}$. Поэтому ${\displaystyle \Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)}$ для всех ${\displaystyle t}$. Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции ${\displaystyle \Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}\ }$ где ${\displaystyle c_{n}}$ коэффициенты Фурье, равные ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\ }$ ${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }$ ${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }$ ${\displaystyle ={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n\,0/T}\ }$ ${\displaystyle ={\frac {1}{T}}.\ }$ В результате того, что все коэффициенты Фурье равны ${\displaystyle 1/T}$, получаем окончательное выражение ${\displaystyle \Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}}$. Ссылки Bracewell, R.N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (revised ed.), McGraw-Hill; 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.