Анатолий Гробов родился 6 мая 1916 года в посёлке Верхняя Тура (ныне — город в Свердловской области) в семье служащего. В 1936 году окончил Талицкий лесотехнический техникум, после чего работал лесоводом Верхнетуринского леспромхоза. В 1938 году Гробов был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. С октября 1941 года — на фронтах Великой Отечественной войны. В 1942 году он окончил курсы младших лейтенантов инженерных войск. К сентябрю 1943 года гвардии старший лейтенант Анатолий Гробов командовал сапёрной ротой 46-го гвардейского отдельного сапёрного батальона 42-й гвардейской стрелковой дивизии 40-й армииВоронежского фронта. Отличился во время битвы за Днепр.
В ночь с 23 на 24 сентября 1943 года, обеспечивая форсирование Днепра в районе села ГребениКагарлыкского районаКиевской областиУкраинской ССР, с первой группой сапёров Гробов переправился через Днепр и, несмотря на массированный вражеский огонь, в кратчайшие сроки силами своей роты построил переправу через реку для советских войск.
Герои Советского Союза: Краткий биографический словарь / Пред. ред. коллегии И. Н. Шкадов. — М.: Воениздат, 1987. — Т. 1 /Абаев — Любичев/. — 911 с. — 100 000 экз. — ISBN отс., Рег. № в РКП 87-95382.