Летом 2013 года Гюнай Гювенч перешёл в «Бешикташ», который в январе 2014 года отдал его в аренду команде Первой лиги «Аданаспор» до конца сезона. 22 марта 2015 года он дебютировал в Суперлиге, заменив в самом конце первого тайма дерби с «Фенербахче» вратаря «Бешикташа» Толгу Зенгина[2].
Летом 2016 года Гюнай Гювенч перешёл в турецкий «Гёзтепе», который по итогам следующего сезона вернулся в Суперлигу.