Большую часть своей карьеры Гётке провёл велокроссе, в том числе участвовал в чемпионате мира по велокроссу 2019 года и представлял сборную Дании на многих этапах Кубка мира[5]. Позже он увлекся гравийным велоспортом, и в октябре 2022 года в составе датской команды принял участие в первой в истории гонке чемпионата мира по гравийному велоспорту[6].