Гётце — воспитанник дортмундской «Боруссии» и «Баварии». В 2016 году он был включён в заявку на сезон последней, но из-за высокой конкуренции так и не дебютировал за основной состав, играя за дублёров. Летом 2018 года в поисках игровой практики Гётце перешёл в «Аугсбург», подписав контракт на 4 года[3]. 1 сентября в матче против мёнхенгладбахской «Боруссии» он дебютировал в Бундеслиге[4]. 25 сентября в поединке против своего родного клуба «Баварии» Феликс забил свой первый гол за «Аугсбург»[5].