Далберт — воспитанник клубов «Барра-Манса», «Флуминенсе» и «Фламенго». В 2013 году Энрике переехал в Португалию, где начал профессиональную карьеру в «Академику ди Визеу». 9 февраля 2014 года в матче против «Униан Мадейра» он дебютировал в Сегунда лиге[3]. 4 января 2015 года в поединке против «Авеша» Далберт забил свой первый гол за «Академику ди Визеу»[4]. Летом того же года Энрике перешёл в «Виторию Гимарайнш». 27 сентября в матче против «Браги» он дебютировал в Сангриш лиге[5].
Через год Энрике перешёл в итальянский «Интер», подписав контракт на пять лет[7]. Сумма трансфера составила 20 млн. евро. 26 августа 2017 года в матче против «Ромы» он дебютировал в итальянской Серии A, заменив во втором тайме Юто Нагатомо[8].