Дальберг — воспитанник клуба «Эльвенгенс» из своего родного города[2]. В 2013 году он стал основным вратарём и отыграл сезон в возрасте 15 лет в одном из полупрофессиональных дивизионов Швеции. В 2014 году его заметили скауты «Гётеборга» и пригласили в академию клуба. 7 июля 2016 года в ответном поединке квалификационного раунда Лиги Европы против валлийского «Лландидно» Понтус дебютировал за основную команду в возрасте 17 лет[3]. 2 апреля 2017 года в матче против «Мальмё» он дебютировал в Аллсвенскан лиге[4].
В начале 2018 года Дальберг перешёл в английский «Уотфорд», но для получения игровой практики до лета, был оставлен в «Гётеборге». Вернувшись в «Уотфорд», 11 ноября на тренировке получил рану головы, столкнувшись с кем-то из одноклубников[5].