Меню Главная Случайная статья Настройки Логарифмический декремент колебаний Материал из https://ru.wikipedia.org Логарифмический декремент колебаний (декремент затухания; от лат. decrementum — «уменьшение, убыль») — безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колеблющейся величины ${\displaystyle \lambda =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}.}$ Логарифмический декремент колебаний равен коэффициенту затухания ${\displaystyle \lambda =\beta T.}$ Этот параметр применяется, как правило, для линейных колебательных систем, поскольку в нелинейных системах период колебания, вообще говоря, зависит от амплитуды, а закон убывания амплитуды отличается от экспоненциального. В линейных системах колеблющаяся величина изменяется со временем как ${\displaystyle x(t)=Ae^{-\beta t}\cos \omega t,}$ где Обозначив ${\displaystyle X_{k}/X_{k+1}={\frac {e^{-\beta kT}}{e^{-(k+1)\beta T}}}\cdot {\frac {\cos(2\pi k)}{\cos(2\pi (k+1))}}=e^{\beta T}.}$ Логарифмический декремент равен показателю этой экспоненты: ${\displaystyle \lambda =\ln(X_{k}/X_{k+1})=\ln e^{\beta T}=\beta T.}$ Если энергия колебательной системы пропорциональна ${\displaystyle Q={\frac {2\pi }{1-e^{-2\lambda }}},}$ а логарифмический декремент выражается через добротность как ${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-{\frac {2\pi }{Q}}\right).}$ Для систем с высокой добротностью (т. е. со слабым затуханием) ${\displaystyle \lambda \ll 1,}$ поэтому можно, разложив ${\displaystyle e^{-\lambda }}$ в ряд Маклорена по ${\displaystyle Q\approx {\frac {\pi }{\lambda }},\qquad \lambda \approx {\frac {\pi }{Q}}.}$ Ссылки Декремент затухания // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 578. — 707 с. — 100 000 экз.