Меню Главная Случайная статья Настройки Дзета-функция Сельберга Материал из https://ru.wikipedia.org Дзета-функция Сельберга была введена Атле Сельбергом и является аналогом знаменитой дзета-функции Римана, если записать её в следующей форме: ${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$ где ${\displaystyle \mathbb {P} }$ — множество простых чисел. Дзета-функция Сельберга использует длины простых замкнутых геодезических вместо простых чисел. Если ${\displaystyle \Gamma }$ является подгруппой SL(2, R), то соответствующая дзета-функция Сельберга определяется следующим образом: ${\displaystyle \zeta _{\Gamma }(s)=\prod _{p}(1-N(p)^{-s})^{-1},}$ или ${\displaystyle Z_{\Gamma }(s)=\prod _{p}\prod _{n=0}^{\infty }(1-N(p)^{-s-n}),}$ где p пробегает классы сопряжённости простых геодезических (или, что то же самое, классы сопряжённости примитивных гиперболических элементов ${\displaystyle \Gamma }$), а ${\displaystyle N(p)}$ обозначает ${\displaystyle \exp({\text{length of }}p)}$ (то есть квадрат наибольшего собственного значения p). Для любой гиперболической поверхности конечной площади существует соответствующая дзета-функция Сельберга; эта функция является мероморфной, определённой в комплексной плоскости. Функция определяется через замкнутые геодезические линии поверхности. Нули и полюса дзета-функции Сельберга, ${\displaystyle Z(s)}$, можно описать в терминах спектральных данных поверхности. Нули находятся в следующих точках: Для каждой формы возврата с собственным значением ${\displaystyle s_{0}(1-s_{0})}$ существует ноль в точке ${\displaystyle s_{0}}$. Порядок ноля равен размерности соответствующего собственного пространства. (Форма возврата — собственная функция оператора Лапласа-Бельтрами, разложение Фурье которой имеет нулевой постоянный член). Дзета-функция также имеет ноль в каждом полюсе определителя матрицы рассеяния ${\displaystyle \phi (s)}$. Порядок ноля равен порядку соответствующего полюса матрицы рассеяния. Дзета-функция также имеет полюса в ${\displaystyle 1/2-\mathbb {N} }$, и может иметь нули или полюса в точках ${\displaystyle -\mathbb {N} }$. Дзета-функция Ихары считается p-адическим (и теоретико-графовым) аналогом дзета-функции Сельберга. Дзета-функция Сельберга для модулярной группы Если поверхность есть ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}}$, где ${\displaystyle \Gamma }$ — модулярная группа, дзета-функция Сельберга представляет особый интерес. В этом частном случае она тесно связана с дзета-функцией Римана . Так, определитель матрицы рассеяния находится выражением: ${\displaystyle \varphi (s)=\pi ^{1/2}{\frac {\Gamma (s-1/2)\zeta (2s-1)}{\Gamma (s)\zeta (2s)}}.}$ В частности, видно, что если дзета-функция Римана имеет ноль в точке ${\displaystyle s_{0}}$, то определитель матрицы рассеяния имеет полюс при ${\displaystyle s_{0}/2}$, и, следовательно, дзета-функция Сельберга имеет ноль при ${\displaystyle s_{0}/2}$. [ требуется ссылка ] См. также Формула следа Сельберга Ссылки Fischer, Jrgen (1987), An Approach to the Selberg Trace Formula via the Selberg Zeta-Function, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1253, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0077696, ISBN 978-3-540-15208-8, MR 0892317 Iwaniec, H. Spectral methods of automorphic forms, American Mathematical Society, second edition, 2002. Venkov, A. B. Spectral theory of automorphic functions. Proc. Steklov. Inst. Math, 1982. Sunada, T., L-functions in geometry and some applications, Proc. Taniguchi Symp. 1985, «Curvature and Topology of Riemannian Manifolds», Springer Lect. Note in Math. 1201(1986), 266—284.