Диас — воспитанник столичного клуба «Эстудиантес». 8 мая 2019 года в матче против «Олл Бойз» он дебютировал в Примере Метрополитана[1]. По итогам сезона Лаутаро помог команде выйти в более высокий дивизион. 29 октября в матче против «Атланты» он дебютировал в аргентинской Примере B[2]. 10 января 2021 года в поединке против «Феррокарриль Оэсте» Лаутаро забил свой первый гол за «Этудиантес»[3]. Летом 2021 года Диас на правах аренды перешёл в «Вилья-Дальмине». 24 июля в матче против «Индепендьенте Ривадавия» он дебютировал за новую команду[4]. 31 июля в поединке против «Атлетико Рафаэла» Лаутаро забил свой первый гол за «Вилья-Дальмине»[5].
