Меню Главная Случайная статья Настройки Дивергенция Йенсена — Шеннона Материал из https://ru.wikipedia.org Дивергенция Йенсена — Шеннона[1] — это метод измерения похожести двух распределений вероятностей. Она известна также как информационный радиус[2] или полное отклонение от среднего[3]. Дивергенция базируется на дивергенции Кульбака — Лейблера с некоторыми существенными (и полезными) отличиями, среди которых, что она симметрична и всегда имеет конечное значение. Квадратный корень из дивергенции Йенсена — Шеннона является метрикой, которая часто упоминается как расстояние Йенсена — Шеннона[4][5][6]. Содержание 1 Определение 2 Границы 3 Связь со взаимной информацией 4 Квантовая дивергенция Йенсена — Шеннона 5 Обобщение 6 Приложения 7 Примечания 8 Литература 9 Литература для дальнейшего чтения 10 Ссылки Определение Рассмотрим множество ${\displaystyle M_{+}^{1}(A)}$ распределений вероятности, где A — это множество, снабжённое некоторой сигма-алгеброй измеримых подмножеств. В частности, мы можем взять в качестве A конечное или счётное множество, в котором все подмножества измеримы. Дивергенция Йенсена — Шеннона (англ. Jensen–Shannon divergence, JSD) ${\displaystyle M_{+}^{1}(A)\times M_{+}^{1}(A)\rightarrow [0,\infty {})}$ — это симметризованная и сглаженная версия дивергенции Кульбака — Лейблера ${\displaystyle D(P\parallel Q)}$. Она определяется как ${\displaystyle {\rm {JSD}}(P\parallel Q)={\frac {1}{2}}D(P\parallel M)+{\frac {1}{2}}D(Q\parallel M)}$, где ${\displaystyle M={\frac {1}{2}}(P+Q)}$ Недавно было предложено обобщение дивергенции Йенсена — Шеннона, в котором вместо арифметического среднего используется абстрактное среднее (наподобие геометрического или гармонического среднего)[7]. Геометрическая дивергенция Йенсена — Шеннона (англ. G-Jensen–Shannon divergence) даёт явную a формулу дивергенции между двумя гауссовыми распределениями путём применения геометрического среднего. Более общее определение, позволяющее сравнить более двух распределений вероятности (См): ${\displaystyle {\rm {JSD}}_{\pi _{1},\ldots ,\pi _{n}}(P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n})=H\left(\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}P_{i}\right)-\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}H(P_{i})}$, где ${\displaystyle \pi _{1},\ldots ,\pi _{n}}$ являются весами, выбранными для распределений вероятности ${\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}}$, а ${\displaystyle H(P)}$ является энтропией Шеннона для распределения ${\displaystyle P}$. Для случая двух распределений ${\displaystyle P_{1}=P,P_{2}=Q,\pi _{1}=\pi _{2}={\frac {1}{2}}.\ }$ Границы Дивергенция Йенсена — Шеннона ограничена 1 для двух распределений вероятности, если (в дивергенции Кульбака — Лейблера) используется логарифм по основанию 2[8] ${\displaystyle 0\leqslant {\rm {JSD}}(P\parallel Q)\leqslant 1}$ С такой нормализацией дивергенция Йенсена — Шеннона является нижней границей полного расстояния вариации[англ.] между P и Q: ${\displaystyle {\rm {JSD}}(P\parallel Q)\leqslant {\frac {1}{2}}\|P-Q\|_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{\omega \in \Omega }|P(\omega )-Q(\omega )|.}$ Для натурального логарифма, который обычно используется в статистической термодинамике, верхняя граница равна ln(2): ${\displaystyle 0\leqslant {\rm {JSD}}(P\parallel Q)\leqslant \ln(2)}$ Дивергенция Йенсена — Шеннона ограничена величиной ${\displaystyle \log _{2}(n)}$ для более двух распределений вероятности, если используется логарифм по основанию 2[8] ${\displaystyle 0\leqslant {\rm {JSD}}_{\pi _{1},\ldots ,\pi _{n}}(P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n})\leqslant \log _{2}(n)}$ Связь со взаимной информацией Дивергенция Йенсена — Шеннона является взаимной информацией между случайной переменной ${\displaystyle X}$, ассоциированной со смесью распределений[англ.] между ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ и двоичной индикаторной переменной ${\displaystyle Z}$, которая используется для переключения между ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ для получения смеси. Пусть ${\displaystyle X}$ будет некоторой функцией на множестве событий, которая хорошо различает события, и выберем значение ${\displaystyle X}$ согласно ${\displaystyle P}$, если ${\displaystyle Z=0}$, и согласно ${\displaystyle Q}$, если ${\displaystyle Z=1}$, где ${\displaystyle Z}$ равновероятно. То есть мы выбираем ${\displaystyle X}$ согласно мере ${\displaystyle M=(P+Q)/2}$, и его распределение является смесью распределений. Мы вычисляем ${\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Z)&=H(X)-H(X|Z)\\&=-\sum M\log M+{\frac {1}{2}}\left[\sum P\log P+\sum Q\log Q\right]\\&=-\sum {\frac {P}{2}}\log M-\sum {\frac {Q}{2}}\log M+{\frac {1}{2}}\left[\sum P\log P+\sum Q\log Q\right]\\&={\frac {1}{2}}\sum P\left(\log P-\log M\right)+{\frac {1}{2}}\sum Q\left(\log Q-\log M\right)\\&={\rm {JSD}}(P\parallel Q)\end{aligned}}}$ Из результатов выше следует, что дивергенция Йенсена — Шеннона ограничена 0 и 1, поскольку взаимная информация неотрицательна и ограничена величиной ${\displaystyle H(Z)=1}$. Дивергенция Йенсена — Шеннона не всегда ограничена 0 и 1 — здесь верхняя граница 1 возникает из-за того, что мы рассматриваем конкретный случай двоичной переменной ${\displaystyle Z}$. Можно применить тот же принцип для совместного распределения и произведения этих двух крайних распределений (по аналогии с дивергенцией Кульбака — Лейблера и взаимной информацией) и измерить, насколько достоверно можно решить, что результат получен от совместного распределения или от произведения распределений при предположении, что имеются только эти две возможности[9]. Квантовая дивергенция Йенсена — Шеннона Обобщение распределений вероятности на матрицы плотности позволяет определить квантовую дивергенцию Йенсена — Шеннона (англ. quantum Jensen–Shannon divergence, QJSD)[10][11]. Она определяется для множества матриц плотности ${\displaystyle (\rho _{1},\ldots ,\rho _{n})}$ и распределений вероятности ${\displaystyle \pi =(\pi _{1},\ldots ,\pi _{n})}$ как ${\displaystyle {\rm {QJSD}}(\rho _{1},\ldots ,\rho _{n})=S\left(\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}\rho _{i}\right)-\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}S(\rho _{i})}$ где ${\displaystyle S(\rho )}$ является энтропией фон Неймана[англ.] плотности ${\displaystyle \rho }$. Эта величина вводится в теории квантовой информации, где называется информацией Холево — она даёт верхнюю границу для количества классической информации, закодированной квантовыми состояниями ${\displaystyle (\rho _{1},\ldots ,\rho _{n})}$ при априорных распределениях ${\displaystyle \pi }$ (см. статью «Теорема Холево»)[12]. Квантовая Дивергенция Йенсена — Шеннона для ${\displaystyle \pi =\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$ и двух матриц плотности является ограниченной всюду заданной симметричной функцией и равна нулю, только если две матрицы плотности совпадают. Она равна квадрату метрики чистых состояний[13] и недавно было показано, что это метрическое свойство выполняется и для смешанных состояний[14][15]. Метрика Бюреса[англ.] тесно связана с квантовой дивергенцией Йенсена — Шеннона и является квантовым аналогом информационной метрики Фишера. Обобщение Нильсен ввёл косую K-дивергенцию[16]: ${\displaystyle K_{\alpha }(p||q)=\mathrm {KL} (p||(1-\alpha )p+\alpha q)=\int p(x)\log {\frac {p(x)}{(1-\alpha )p(x)+\alpha q(x)}}\mathrm {d} x.}$ Отсюда получаем однопараметрическое семейство дивергенций Йенсена — Шеннона, называемое ${\displaystyle \alpha }$-дивергенциями Йенсена — Шеннона: ${\displaystyle \mathrm {JS} _{\alpha }(p,q)={\frac {1}{2}}\left(K_{\alpha }(p||q)+K_{\alpha }(q||p)\right)=\mathrm {JS} _{\alpha }(q,p),}$ которое включает дивергенцию Йенсена — Шеннона (для ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$) и половину дивергенции Джеффриса (для ${\displaystyle \alpha =1}$). Приложения Дивергенция Йенсена — Шеннона применяется в биоинформатике и сравнении геномов[англ.][17][18], при сравнении поверхностей белков[19], в общественных науках[20], при количественных исследованиях в истории[21], экспериментах с огнём[22] и машинном обучении [23]. Примечания В русскоязычной литературе чаще встречается неверное название «Дивергенция Дженсена — Шеннона» Schtze, Manning, 1999, с. 304. Dagan, Lee, Pereira, 1997, с. 56–63. Endres, Schindelin, 2003, с. 1858–1860. sterreicher, Vajda, 2003, с. 639–653. Fuglede, Topsoe, 2004, с. 30. Nielsen, Frank (2019). On a generalization of the Jensen-Shannon divergence and the JS-symmetrization of distances relying on abstract means. arXiv:1904.04017 [cs.IT]. 1 2 Lin, 1991, с. 145–151. Schneidman, Bialek, Berry, 2003. Majtey, Lamberti, Prato, 2005, с. 052310. Brit, Harremos, 2009, с. 052311. Холево, 1973, с. 3–11. Braunstein, Caves, 1994, с. 3439–3443. Sims, Jun, Wu, Kim, 2009, с. 2677–82. Itzkovitz, Hodis, Segal, 2010, с. 1582–9. Ofran, Rost, 2003, с. 377–87. DeDeo, Hawkins, Klingenstein, Hitchcock, 2013, с. 2246–2276. Klingenstein, Hitchcock, DeDeo, 2014, с. 9419–9424. Mitroi-Symeonidis, Anghel, Minculete, 2020, с. 22. Goodfellow, Pouget-Abadie и др., 2014. Литература Ido Dagan, Lillian Lee, Fernando Pereira. Similarity-Based Methods For Word Sense Disambiguation // Proceedings of the Thirty-Fifth Annual Meeting of the Association for Computational Linguistics and Eighth Conference of the European Chapter of the Association for Computational Linguistics. — 1997. — doi:10.3115/979617.979625. — . — arXiv:cmp-lg/9708010. D. M. Endres, J. E. Schindelin. A new metric for probability distributions // IEEE Trans. Inf. Theory. — 2003. — Т. 49, вып. 7. — С. 1858–1860. — doi:10.1109/TIT.2003.813506. F. sterreicher, I. Vajda. A new class of metric divergences on probability spaces and its statistical applications // Ann. Inst. Statist. Math.. — 2003. — Т. 55, вып. 3. — С. 639–653. — doi:10.1007/BF02517812. Elad Schneidman, Bialek W., Berry M.J. 2nd. Synergy, Redundancy, and Independence in Population Codes // Journal of Neuroscience. — 2003. — Т. 23, вып. 37. — С. 11539–11553. — doi:10.1523/JNEUROSCI.23-37-11539.2003. — PMID 14684857. Majtey A., Lamberti P., Prato D. Jensen-Shannon divergence as a measure of distinguishability between mixed quantum states // Physical Review A. — 2005. — Т. 72, вып. 5. — С. 052310. — doi:10.1103/PhysRevA.72.052310. — . — arXiv:quant-ph/0508138. Jop Brit, Peter Harremos. Properties of classical and quantum Jensen-Shannon divergence // Physical Review A. — 2009. — Т. 79, вып. 5. — С. 052311. — doi:10.1103/PhysRevA.79.052311. — . — arXiv:0806.4472. Холево А.С. Границы количества информации, передаваемой по квантовому каналу связи // Проблемы передачи информации. — 1973. — Т. 9. Samuel Braunstein, Carlton Caves. Statistical distance and the geometry of quantum states // Physical Review Letters. — 1994. — Т. 72, вып. 22. — С. 3439–3443. — doi:10.1103/PhysRevLett.72.3439. — . — PMID 10056200. Flavia-Corina Mitroi-Symeonidis, Ion Anghel, Nicuor Minculete. Parametric Jensen-Shannon statistical complexity and its applications on full-scale compartment fire data // Symmetry (Special Issue: Symmetry in Applied Mathematics). — 2020. — Вып. 12(1). — doi:10.3390/sym12010022. J. Lin. Divergence measures based on the shannon entropy // IEEE Transactions on Information Theory. — 1991. — Т. 37, вып. 1. — С. 145–151. — doi:10.1109/18.61115. Sims G.E., Jun S.R., Wu G.A., Kim S.H. Alignment-free genome comparison with feature frequency profiles (FFP) and optimal resolutions // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — 2009. — Т. 106, вып. 8. — С. 2677–82. — doi:10.1073/pnas.0813249106. — . — PMID 19188606. — PMC 2634796. Itzkovitz S., Hodis E., Segal E. Overlapping codes within protein-coding sequences // Genome Research. — 2010. — Т. 20, вып. 11. — С. 1582–9. — doi:10.1101/gr.105072.110. — PMID 20841429. — PMC 2963821. Ofran Y., Rost B. Analysing six types of protein-protein interfaces // Journal of Molecular Biology. — 2003. — Т. 325, вып. 2. — С. 377–87. — doi:10.1016/s0022-2836(02)01223-8. — PMID 12488102. Sara Klingenstein, Tim Hitchcock, Simon DeDeo. The civilizing process in London's Old Bailey // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2014. — Т. 111, вып. 26. — С. 9419–9424. — doi:10.1073/pnas.1405984111. — . — PMID 24979792. — PMC 4084475. Simon DeDeo, Robert X. D. Hawkins, Sara Klingenstein, Tim Hitchcock. Bootstrap Methods for the Empirical Study of Decision-Making and Information Flows in Social Systems // Entropy. — 2013. — Т. 15, вып. 6. — С. 2246–2276. — doi:10.3390/e15062246. — . — arXiv:1302.0907. Литература для дальнейшего чтения Ссылки Ruby gem for calculating JS divergence Python code for calculating JS divergence THOTH: a python package for the efficient estimation of information-theoretic quantities from empirical data statcomp R library for calculating complexity measures including Jensen-Shannon Divergence