Меню Главная Случайная статья Настройки Дираковская потенциальная гребёнка Материал из https://ru.wikipedia.org Дираковская потенциальная гребёнка, в квантовой механике, периодический потенциал, образованный последовательностью -функций Дирака. ${\displaystyle U(x)={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na),}$ где a — интервал между соседними сингулярными точками. Это простейшая модель, в которой возникает зонная структура спектра. Уравнение Шрёдингера с потенциалом в виде дираковской потенциальной гребёнки Уравнение Шрёдингера принимает вид ${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\Psi (x)=E\Psi (x).}$ Вводя обозначение ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$, получим: ${\displaystyle \Psi ''(x)+\left(k^{2}-2\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\right)\Psi (x)=0.}$ В интервале ${\displaystyle 0<x<a}$ уравнение принимает вид: ${\displaystyle \Psi ''(x)+k^{2}\Psi (x)=0}$ и его общее решение равно ${\displaystyle \Psi (x)=C_{1}e^{ikx}+C_{2}e^{-ikx}.}$ Так как потенциал периодический, то в интервале ${\displaystyle a<x<2a}$ решение имеет вид ${\displaystyle \Psi (x)=e^{iKa}\left(C_{1}e^{ik(x-a)}+C_{2}e^{-ik(x-a)}\right).}$ Условие непрерывности волновой функции ${\displaystyle \Psi (a+0)=\Psi (a-0).}$ Интегрируя уравнение Шрёдингера в окрестности точки ${\displaystyle x=a}$, получим условие сшивки для производных: ${\displaystyle \Psi '(a+0)=\Psi '(a-0)+2\Omega \Psi (a).}$ Учитывая эти условия, имеем: ${\displaystyle e^{iKa}(A+B)=Ae^{ika}+Be^{-ika},}$ ${\displaystyle ike^{iKa}(A-B)=ik(Ae^{ika}-Be^{-ika})+2\Omega (Ae^{ika}+Be^{-ika}).}$ Данное уравнение имеет нетривиальные решения при ${\displaystyle \cos Ka=\cos ka+{\frac {\Omega }{k}}\sin ka.}$ Из этого следует, что зоны разрешённых значений энергии определяются неравенством ${\displaystyle |\cos ka+{\frac {\Omega }{k}}\sin ka|\leqslant 1.}$ Соответствующий спектр энергий: ${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}(ka)^{2}.}$ Литература З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1. См. также Частица в периодическом потенциале